关于本篇博文
作者 北屿 http://www.cnblogs.com/beiyuoi/
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关于Fibonacci的定义和性质等总结。
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20160617-Fibonacci定义及通项公式
定义
\[Fibonacci_n=Fibonacci_{n-1}+Fibonacci_{n-2}\]
特别的 \(Fibonacci_0=0,Fibonacci_1=1\)
通项公式及推导
- 通项公式
\(F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n,n\geq 0\)
- 推导
设 \(F^n=q^n\) ，忽略 \(F_0=0,F_1=1\) 的限制，由Fibonacci递推式 \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) 得到
\(q^n-q^{n-1}-q^{n-2}=0,n\geq 2\)
\(q^{n-2}(q^2-q-1)=0\)
我们知道 \(q^{n-2}\) 不能为\(0\) ，则 \(q^2-q-1=0\) ， \(q\) 为方程 \(x^2-x-1=0\) 的解
\(q=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\) 或 \(q=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\)
即 \(F_n=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n\) 和 \(F_n=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\)
两者都是关于递推式\(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) 的解
设 \(F_n=c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\)
由 \(F_0=0,F_1=1\) 得到方程组
\[\begin{cases}c_1+c_2=0\\c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=1\end{cases}\]
解得 \(\begin{cases}c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\\c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\end{cases}\)
即Fiboncci数列的通项公式为 \[F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n,n\geq 0\]
参考文献
- 《组合数学 (原书第5版) 》 Richard A.Brualdi