【数论】中国剩余定理

问题:给定a1a2...an,
m1,m2...mnmi之间两两互质,求一个x,使得x/ai=mi

构造方法:

先求出M=∏ni=1mi
对于每个mi,求出M / mi, 然后和mi利用拓展欧几里得算法求出M/mi?p+mi?q=1时的值,取∑ni=1(p?ai?M/mi)就是答案。

证明:

证明参考了wiki

由于mi之间两两互质,所以gcd(mi,mj)=1,gcd(mi,Mi)=1,
求出数论倒数ti使得Mi?ti%mi=1,这就是上面利用扩展欧几里得算法求出的p值,ai?p?M%mi=ai,
又由于M中包含了其他所有的mj,
所以ai?p?M%mj=0,
因此∑ni=1(p?ai?M/mi)%mi=ai得证

代码:

for (int i = 0; i < 3; i++) {
    int x, y, w = M / m[i];
    gcd(m[i], w, x, y);
    ans = (ans + p[i] % m[i] * w * y) % M;
}

【数论】中国剩余定理

时间: 2024-10-09 19:26:16

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