泛函分析复习

2.6 Baire定理

定理 2.52（Baire纲定理）完备的距离空间是第二类型集。

解释：完备的距离空间$(X,d)$，$\forall x \in X$ 都是内点，因为$X$在$X$中是开集。一个无处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个$X$，即$X$不是第一类型集，所以只能是第二类型集。

注：完备的距离空间是第二类型集，那么它的闭包至少存在一个内点。这个经常被用来证明。例如，开映射定理、闭图像定理等。

时间： 2024-11-13 10:11:08

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