椭圆伸缩之思考

我们讨论的椭圆缩放基于二维空间，首先给出以下定义及性质：

1 基点：如果选择一个能控制图形比例（缩放）变换的点，使该点再变换后仍保持不变，则称其为基点（不动点）。

2 比例因子：Sx，Sy分别控制x轴和y轴坐标值的缩小和放大，Sx，Sy为大于0的任何数（两者小于零时会发生镜像，不在我们讨论的范围内），Sx，S_y小于1，图形缩小；S_x，S_y大于1，图形放大。

3 椭圆中心及直径：椭圆是有心曲线，它存在这样的点，该点平分通过它的所有弦，把该点称作是椭圆的中心，把通过中心的弦叫做椭圆的直径。

4 椭圆的共轭直径：对于椭圆的任意直径，容易知道平行于该直径的弦的中点组成弦也是椭圆的直径，这两条直径互为对方的共轭直径。

5 椭圆的轴：在众多的共轭直径中有一对是主方向，该方向对应的直径即共轭又垂直，把这两条直径称为椭圆的轴，称较长的轴为长轴较短的轴为短轴。

6 共轭直径仿射不变性：椭圆的共轭直径在经过仿射变换后仍为共轭直径。

在CAD应用软件程序中，会根据椭圆中心点及长短轴对椭圆进行绘制，但是当椭圆发生伸缩变换后长短轴的位置及大小都会发生改变，需要重新确定长短轴，如下图：

图中红色部分是一个椭圆及其外切长方形，通过观察也可以发现原来的长轴和短轴在经过拉伸（S_x≠S_y）后已不是新椭圆的长轴和短轴，但是根据性质6可知它们仍为新椭圆的共轭直径，之后我们可以根据罗敏雪的《根据椭圆共轭直径绘制椭圆曲线的算法》，由拉伸后的共轭直径求新椭圆的长短轴。罗的算法及配图如下：

（1）给出参数

已知椭圆中心O₁(x₀,y₀)，第1条共轭直径的端点为M(x_m,y_m)，第2条共轭直径的端点为N(x_n,y_n)。

（2）已O₁为圆心，以O_1n为半径，将N(x_n,y_n)点顺时针转90度得N₁(x_n1,y_n1)点。

（3）求MN₁的中点K(x_k,y_k)。

_{（4）求O1K的距离，在直线MN1上取KF=KG=O1K，分别求出FM、GM的距离。}

（5）确定椭圆的长半轴大小，短半轴大小，及长短轴方向。

如果fm>gm，

则a=fm，b=gm，

此时，a=fm为长半轴大小，b=gm为短半轴大小，O₁F为短轴方向，O₁G为长轴方向；

否则a=gm，b=fm，

此时，a=gm为长半轴大小，b=fm为短半轴大小，O₁G为的短轴方向，O₁F为长轴方向。

参考文献：

罗敏雪：根据椭圆共轭直径绘制椭圆曲线的算法

王穗：圆和椭圆的透视仿射对应

强会英：椭圆拉伸变形长短轴的计算及应用