【问题描述】
7月17日是Mr.W的生日,ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕,每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为Ri,高度为Hi的圆柱。当i<M时,要求Ri>Ri+1且Hi>Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油,为尽可能节约经费,我们希望蛋糕外表面(最下一层的下底面除外)的面积Q最小。
令Q= Sπ
请编程对给出的N和M,找出蛋糕的制作方案(适当的Ri和Hi的值),使S最小。
(除Q外,以上所有数据皆为正整数)
【样例输入】
100
2
【样例输出】
68
【解题思路】
本题为NOI1999的题目,题目的意思是让我们去搜索合适的r和h,使得s最小。我们把某一步的状态设为(i,ri,hi,si,vi),i表示从下往上数做到了第几层蛋糕,ri表示当前最上层蛋糕的半径,hi表示当前最上层蛋糕的高度,si表示当前蛋糕的表面积,vi表示做了当前蛋糕现在剩下的体积。
于是乎,由题意可知,从(i,ri,hi,si,vi)到(i+1,r(i+1),h(i+1)s(i+1),v(i+1))满足以下条件: r(i+1)<ri;h(i+1)<hi;v(i+1)=vi-r(i+1)*r(i+1)*h(i+1);s(i+1)=si+2*r(i+1)*h(i+1);
直接就这么搜索显然是不现实的,我们需要剪枝,那么,我们可以从下面几个方面想:
1:当前表面积+剩余的侧面积>当前最优值,那么我们就可以剪枝了,关键在于剩余的侧面积该怎么算。这里有一个公式,是由2*vi推出来的,余下的侧面积>=2*vi/r(i+1),因此,如果2*vi/r(i+1)+si大于当前最优值,那么我们就剪枝。这个叫做最优化剪枝。
2:若剩余的体积比做最小的蛋糕的体积还要小,就可以剪枝了,而做最小的蛋糕的体积可以用倒推法,做第m层半径为1,高也为1,那么体积为1,做第m-1层半径为2,高也为2,那么体积为8……做第i+1层就半径为m-i,高也为m-i,那么体积为(m-i)^3,因此,从1循环到m-i把体积相加,再与现在的体积比较就行了。
3:若剩余的体积比做最大的蛋糕的体积还要大,那也可以剪枝了,方法与2相同。2与3叫做可行性剪枝。
然而,这道题却是在逗我们……
你做着做着会发现,剪来剪去反而一个不好就把最佳答案给剪掉了,程序也长,最终迎来的还是红色的WA,可是,数据告诉我们,只要确定好s、h可能的值,那么只要用到最优化剪枝,便可以AC了……(经本人亲身实验,搞了一上午的剪枝,每一次都把方案给剪了,最终改了一下循环的初值和终值,去掉可行性剪枝都能轻松AC……加上可行性剪枝因为多了判断的时间反而耗时多了一点点……)这里我将两种程序都贴出来,希望哪位大神看到了能够告诉我我哪里剪错了……不胜感激。
【代码实现】
1 uses math; 2 var r,h,s,v,ans,n,m,i:longint; 3 procedure search(i,r,h,s,v:longint); 4 var a,b,c,d:longint; 5 begin 6 if i=m then 7 begin 8 if v=0 then 9 if s<ans then 10 ans:=s; 11 exit; 12 end; 13 if s+2*v div r>ans then 14 exit;//最优化剪枝 15 for a:=r-1 downto m-i do//注意循环变量,自己去算一算,是可以到m-i的,而不是到i 16 for b:=min(v div (a*a),h-1) downto m-i do 17 begin 18 c:=s+2*a*b; 19 d:=v-a*a*b; 20 search(i+1,a,b,c,d); 21 end; 22 end; 23 begin 24 readln(n); 25 readln(m); 26 s:=0; 27 ans:=maxlongint; 28 for r:=m to trunc(sqrt(n)) do 29 for h:=n div (r*r) downto m do 30 begin 31 s:=2*r*h+r*r; 32 v:=n-r*r*h; 33 search(1,r,h,s,v); 34 end; 35 if ans=maxlongint then 36 ans:=0; 37 writeln(ans); 38 end.
1 uses math; 2 var r,h,s,v,ans,n,m:longint; 3 procedure search(i,r,h,s,v:longint); 4 var a,b,c,d,mini,k:longint; 5 begin 6 mini:=0; 7 if s+((2*v) div r)>ans then 8 exit;//剪枝1 9 for k:=1 to m-i do 10 mini:=mini+k*k*k; 11 if v<mini then 12 exit;//剪枝2 13 mini:=0; 14 for k:=i+1 to m do 15 mini:=mini+sqr(r-k+i)*(h-k+i); 16 if v>mini then 17 exit;//剪枝3 18 if (i=m)and(v=0) then 19 if s<ans then 20 begin 21 ans:=s; 22 exit; 23 end; 24 for a:=r-1 downto i do 25 for b:=min(v div (a*a),h-1) downto i do 26 begin 27 c:=s+2*a*b; 28 d:=v-a*a*b; 29 search(i+1,a,b,c,d); 30 end; 31 end; 32 begin 33 readln(n); 34 readln(m); 35 ans:=maxlongint; 36 for r:=m to trunc(sqrt(n)) do 37 for h:=n div (r*r) downto m do 38 begin 39 s:=2*r*h+r*r; 40 v:=n-r*r*h; 41 search(1,r,h,s,v); 42 end; 43 if ans=maxlongint then 44 ans:=0; 45 writeln(ans); 46 end.