数据结构

第一章 绪论（数据结构基本概念）

1.1数据结构基本概念

1.数据

  数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及能够被输入到计算机并被计算机程序处理的符号的总称。如，1-100的整数。

2.数据元素

数据元素是数据的基本单位，作为一个整体进行处理。

（在数据结构课程中，通常将数据元素简称为元素，并误将元素和节点混用，实际上两者是有区别的，数据元素是逻辑概念，在设计存储结构时，数据元素映射成元素或节点，如顺序存储结构中，一个数据元素直接映射成元素，在链式存储结构中，一个数据元素映射成一个节点，一个节点除了包含数据元素外，还用指针表示逻辑关系。）

3.数据项

数据项是构成数据元素不可分割的最小单位。数据元素可以有若干个数据项组成。例如，学生记录就是一个数据元素，它由学号、姓名、性别等数据项组成。

4.数据对象

数据对象是有相同性质的数据元素的集合，它是数据的子集。

5.数据类型

1）原子类型：其值不可再分的数据类型。

2）结构类型：其值可在分为若干成分的数据类型。

3）抽象数据类型：抽象数据组织和与之相关的操作。

6.数据结构

数据结构是相互之间存在着某种关系的数据元素的集合。

数据结构包括三方面的内容：逻辑结构、存储结构和数据的运算。

（1）  数据的逻辑结构

数据的逻辑结构是指数据之间的逻辑关系的整体，它与数据的存储结构无关，是独立于计算机的。注意，在数据结构课本中讨论的逻辑关系仅指数据元素之间的相邻关系或邻接关系。

（2）  数据的存储结构（物理结构）

数据的存储结构是逻辑结构用于计算机语言的实现，它是依赖于计算机语言的。设计一个逻辑结构对应的存储结构时，不仅要存储逻辑结构中的每一个数据元素，还要正确地表示逻辑结构中数据元素之间的逻辑关系。

（3）  施加在数据上的运算

施加在数据上的运算包括运算描述和实现，运算描述是针对逻辑结构的，指出元素的功能；运算实现是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤。

7．逻辑结构的分类

*集合：数据元素之间没有任何关系。

*线性结构：数据元素之间存在着一对一的线性关系。

*树形结构：数据元素之间存在着一对多的线性关系。

*图形结构：数据元素之间存在着多对多的线性关系。

8.存储结构分类

*顺序存储结构：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上相邻的存储单元里，即直接映射。

*链式存储结构：不要求逻辑上相邻的元素物理上也相邻，元素之间的逻辑关系有附加的指针字段表示。

*索引存储结构：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每一项称为索引项，索引项的一般形式：（关键字，地址），关键字唯一标识一个元素，地址作为指向元素的指针。

*散列（哈希）存储结构：根据元素的关键字通过哈希函数直接计算出该元素的存储地址。

9.抽象数据类型

   抽象数据类型（ADT）是指一个数学模型和定义在改操作上的一组操作，通常用（数据对象，数据关系，基本操作集）这样的三元组来表示。

例题解析：

一、单选

1.数据结构是具有   的数据元素的集合。

A.性质相同   B.特定关系  C.相同运算 D.数据项

2.下列说法中，不正确的是    。

A．数据元素是数据的基本单位 B.数据项是数据中不可分割的最小单位

C. 数据可由若干个数据元素构成 D.数据项可由若干个数据元素构成

3.数据的存储结构是指 

A．数组类型  B。指针类型  C.数据之间的逻辑关系 D.数据之间的物理关系

4.在存储数据时，通常不仅要存储各数据元素之间的值，还要存储 

A.数据的处理方法  B 数据元素的类型 C数据之间的关系 D数据的存储方法

5.在计算机的存储器中表示时，各元素物理地址和逻辑地址的相对顺序相同而且是连续的，称之为 

A逻辑结构  B 顺序存储结构 C链式存储结构 D 以上都对

6下面的术语中，与数据的存储结构无关的是 

A循环队列 B栈 C散列表 D单链表

7.下面术语中，与存储结构无关的是 

A 栈    B 顺序栈   C 线索二叉树  D 双链表

8.下列各项中，属于逻辑结构的是 

A 哈希表    B有序表    C 单链表   D 顺序表

9.一下数据结构中，   是非线性结构

A 栈       B。队列    C完全二叉树  D堆

10，对于数据结构，一下叙述中不正确的是  

A相同的逻辑结构，对应的存储结构也必相同

B．数据结构由逻辑结构、存储结构和基本运算组成

C 数据存储结构就是数据逻辑结构在存储器中的实现

D 对数据基本运算的实现与存储结构有关

11可以用   定义一个完整的数据结构。

A．数据元素  B数据对象  C 数据关系  D抽象数据类型

12.可以用   、数据关系和基本操作集定义一个完整的抽象数据类型

A数据元素    B数据对象   C原子类型   D存储结构

13链式存储设计时，结点内的存储单元  

A一定连续   B 一定不连续  C不一定连续  D部分连续，部分不连续

二、综合应用

1.      对于两种不同的数据结构，逻辑结构和物理结构一定不相同吗？

2.      试举一例，说明对相同的逻辑结构，同一种运算在不同的存储方式下实现，效率不同

答案：

一、单选

1-5 BDDCB     6-10 BABCA    11-13 DBA

二、综合

1.应该注意到，数据的运算也是数据结构的一个重要方面。

对于两种不同的数据结构，他们的逻辑结构和物理结构完全有可能相同。如二叉树和二叉排序树，二叉排序树可以用二叉树的逻辑表示喝存储方式，前者通常用来表示层次关系，而后者通常用于排序和查找。

2.线性表既可以用顺序存储方式实现，也可以用链式存储方式实现。在顺序存储方式下，在线性表中插入和删除元素，平均移动近一半的元素，时间复杂度为

O（n）;而在链式存储方式下，插入和删除元素的时间复杂度为O（1）。

1.2算法及其分析

1.什么是算法

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。

2.算法的特性

  *有穷性：算法必须在有穷步之后结束。

  *确定性：算法无二义性。

  *可行性：算法中的所有操作必须通过已实现的基本运算有限次实现。

  *输入：包含0或多个输入。

  *输出：包含1或多个输出。

（算法和程序的区别在于有穷性，程序不一定具有有穷性，例如，操作系统可以不停机（在硬件设备不出现故障时可以长期运行））

通常衡量一个“好”算法应考虑一下目标。

*正确性：算法能够正确的解决问题。

*可读性：算法应该有良好的可读性，以有助于人们理解。

*健壮性：当输入非法数据时，能够适当的反应或处理，而不会产生莫名其妙的结果。

*高效率和低存储：效率是指算法执行的时间。存储是指算法在执行过程中所需的最大存储空间。

3.算法的时间复杂度

   时间复杂度是算法中基本运算重复执行次数多少的度量。算法中的基本运算次数T(n)是问题规模n的某个函数f(n),记作：T(n) = O(f(n))

求时间复杂度的一般过程是：首先确定问题规模n，再选取算法中循环深度最深的语句作为基本运算，求出其执行次数T(n),最后提取出最高阶并置其序数为1，从而得到f(n).对于递归算法，需总结出递归模型，推导出T(n),再导出f(n)

在分析一个程序的时间复杂性时，有以下两条规则：

a)加法规则

T(n) = T1(n) +T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n))

b)乘法规则

T(n) = T1(n) *T2(n) = O(f(n))* O(g(n)) = O(f(n)*g(n))

常见的渐进时间复杂度有：

O(1)<O(log₂N)< O(n) <O(nlog₂N) < O(n²) < O(n³)< O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

4算法的空间复杂度

算法的空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用的存储空间的大小的度量。空间复杂度和时间复杂度一样用O表示，S(n) =O(g(n))

空间复杂度为O(1)的算法称为原地工作或就地工作算法。

例题

一、单选

1.   不是算法的特性。

A 可行性   B 长度有限  C 在规定时间内完成 D 确定性

2.某算法的时间复杂度为O(n2),表明该算法的    。

A问题规模是n2       B 执行时间等于n2

C 执行时间与n2成正比 D 问题规模与n2成正比

3一个算法的执行时间为T(n) = (3n2+2nlog2n+4n-7)/(10n),其时间复杂度为   。

A．O(3n²)     B O(2nlog₂N)  C. O(3n/10) D O(n)

4.以下算法的说法中错误的是   

A算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间。

B 在相同的规模n下，复杂度O(n)的算法在时间上总是优于O(2n)

C 所谓最坏时间复杂度是指最坏情况下估算算法执行时间的一个上界。

D 同一个算法，实现语言的级别越高，执行效率越低

5.求整数n的阶乘的算法如下，其时间复杂度是    。

int fact(int n )

{  if( n <= 1)  return 1;

Else return  n*fact(n-1);

}

A O(log₂N)      BO(n)       C O(nlog₂N)    D O(n²)

6求解Hanoi问题时，若初始有5个盘，则移动圆盘的次数是  

A 7        B 15      C 31   D 5

7 以下算法的时间复杂度是    。

Void fun(int n){

Int i = 1;

While(I <= n)

I =i*2;

}

A .O(n)       B O(n²)      C O(nlog₂N)    D O(log₂N)

8 设n是描述问题规模的非负整数，下面程序片段的时间复杂度是  

X = 2;

While (x < n/2)

X= 2*X;

A O(log₂N)     B O(n)     C O(nlog₂N)   D O(n²)

9 有以下算法，其时间复杂度是   。

Void fun(int n){

Int I,j,x= 0;

For(I= 1; I < n; i++)

For(j= n; j >= i+1; j--)

X++;

}

A O(n)    B O(nlog₂N)      C O(n²)     D O(n³)

10.有以下算法，其时间复杂度为   。

Void fun(int n)

{  int p = 1,d = n, f = n;

While(d > 0){

If(d % 2 == 0)   p = p * f;

Else    f= f*f; d = d/2;

}

A O(l)   B O(log₂N)   CO(n)    D O(nlog₂N)

11 有以下算法，其时间复杂度为   .

Void fun(int n){

IntI = 0;

While(i*i*I<= n)

I++;

}

A O(n)      B O(nlog₂N)     C O(3次根号n)     D O(根号n)

12 以下算法中加下划线语句的执行次数为   。

Int m = 0, I,j;

For(I = 1; I <= n; i++)

For(j= 1; j <= 2*I; j++)

M++;

A n(n+1)   B.n     C.n+1     D.n²

二、综合

1.      以下算法的时间复杂度为多少？

Int fun(int n ){

Int I,k;

For(I = 1; I <= n; i++)

For(j = 1; j <= n; j++){

K  = 1;

While(k <= n)  k = 5*k;

}

2.      以下算法的时间复杂度为多少？

Void Hanoi(intn,char x,char y,char z){

If(n == 1)

Printf(“move %c to %c \n”,x,z);

Else{

Hanoi(n-1,x,z,y);

Printf(“move %c to %c \n”,x,z);

Hanoi(n-1,y,x,z);

}

}

答案：

一、单选

1-5 BCDAB        6-10 CDACB  11-12 CA

二、综合

1.      基本语句为 k = 5*k,设其时间为T(n)

对于每循环一次，改语句的执行次数为m,有：5m < n ，即m <=log5n

T(n) = mn² = n2log₅N = O(n²log₅N)

2.      T(n) = 2T(n-1) +1 = 2(2(T(n-2)+1)+1

= 2²T(n-2)+1+2

=2^n-1T(1)+1+2¹+2²+…+2^n-2

= 2^n-1+2^n-1-1= 2ⁿ-1 = O(2ⁿ)