「原创题」红太阳

「题目描述」

　　我们都知道，红太阳会发出光芒。每天红太阳会等概率随机、不超过 $n$ 次地发出光芒，每次包含着 $a$ 个单位的热量。

　　我们都知道，只有在红太阳的照耀下，我们才能茁壮成长。每天每个人都希望得到 $c$ 个单位的热量，只有得到了 $c$ 个单位的热量，一个人才会满足，并高呼「红太阳万岁！」。而红太阳会满足尽量多的人。

　　问每天红太阳能满足的人的期望个数，为了避免浮点误差，将答案乘上 $n+1$ 对 ${10} ^ 9 + 7$ 取模后输出。

「做法1」类欧几里得算法

　　求 $\begin{aligned} \sum_{i = 0} ^ n \lfloor \frac{ai}{c} \rfloor \end{aligned}$ 。

　　这是经典的类欧几里得算法的模型。

「做法2」几何意义

　　几何意义：$y = ax$ 、$x$ 轴与 $x = n$ 三条直线围成的三角形内点的个数。

　　向量 $(x, y)$ 上的整点个数为 $(x, y) + 1$ ，除端点外的整点个数为 $(x, y) - 1$ 。

　　使用 pick 定理，或者将三角形补形为矩形后求内部的整点个数。