$\bf命题2:$设$f\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty }
\right)$,令
fn(x)=∑k=0n?11nf(x+kn)
证明:对任意$x \in \left[ {a,b} \right] \subset \left( { - \infty , + \infty }
\right)$,有${f_n}\left( x \right)$一致收敛于$\int_0^1 {f\left( {x + t} \right)dt}$
证明:由$f\left( x \right) \in C\left( { - \infty , + \infty } \right)$知,$f\left(
x \right) \in C\left[ {a,b} \right]$,则
由$\bf{Cantor定理}$知,$f\left( x \right)$在$\left[ {a,b}
\right]$上一致连续,即对任意$\varepsilon > 0$,存在$\delta > 0$,使得对任意的$x,y \in \left[
{a,b} \right]$满足$\left| {x - y} \right|
< \delta $时,有
|f(x)?f(y)|<ε
取$N = \frac{1}{\delta }$,则当$n > N$时,对任意$x \in \left[ {a,b} \right]$,$t
\in \left[ {\frac{k}{n},\frac{{k + 1}}{n}} \right]$,有
∣∣∣(x+kn)?(x+t)∣∣∣<δ
从而有
∣∣∣f(x+kn)?f(x+t)∣∣∣<ε
所以对任意$\varepsilon > 0$,存在$N = \frac{1}{\delta } > 0$,使得当$n >
N$时,对任意$x \in \left[ {a,b} \right]$,有
∣∣∣fn(x)?∫10f(x+t)dt∣∣∣=∣∣∣∣∑k=0n?1∫k+1nkn[f(x+kn)?f(x+t)]dt∣∣∣∣<ε
从而由函数列一致收敛的定义即证
$\bf注1:$$\int_0^1 {f\left( {x + t} \right)dt} {\rm{ = }}\sum\limits_{k =
0}^{n - 1} {\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{{k + 1}}{n}} {f\left( {x + t} \right)dt} }
$