线性代数，原理不讲了。。。
1 /* 用于求整数解得方程组. */
2
3 #include <iostream>
4 #include <string>
5 #include <cmath>
6 using namespace std;
7
8 const int maxn = 105;
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10 int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
11 int a[maxn][maxn];
12 int x[maxn]; // 解集.
13 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
14 int free_num;
15
16 void Debug(void)
17 {
18 int i, j;
19 for (i = 0; i < equ; i++)
20 {
21 for (j = 0; j < var + 1; j++)
22 {
23 cout << a[i][j] << " ";
24 }
25 cout << endl;
26 }
27 cout << endl;
28 }
29
30 inline int gcd(int a, int b)
31 {
32 int t;
33 while (b != 0)
34 {
35 t = b;
36 b = a % b;
37 a = t;
38 }
39 return a;
40 }
41
42 inline int lcm(int a, int b)
43 {
44 return a * b / gcd(a, b);
45 }
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47 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
48 int Gauss(void)
49 {
50 int i, j, k;
51 int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
52 int col; // 当前处理的列.
53 int ta, tb;
54 int LCM;
55 int temp;
56 int free_x_num;
57 int free_index;
58 // 转换为阶梯阵.
59 col = 0; // 当前处理的列.
60 for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
61 {
62 // 枚举当前处理的行.
63 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
64 max_r = k;
65 for (i = k + 1; i < equ; i++)
66 {
67 if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
68 }
69 if (max_r != k)
70 {
71 // 与第k行交换.
72 for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
73 }
74 if (a[k][col] == 0)
75 {
76 // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
77 k--;
78 continue;
79 }
80 for (i = k + 1; i < equ; i++)
81 {
82 // 枚举要删去的行.
83 if (a[i][col] != 0)
84 {
85 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
86 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
87 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
88 for (j = col; j < var + 1; j++)
89 {
90 a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
91 }
92 }
93 }
94 }
95 Debug();
96 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
97 for (i = k; i < equ; i++)
98 {
99 // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
100 if (a[i][col] != 0) return -1;
101 }
102 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
103 // 且出现的行数即为自由变元的个数.
104 if (k < var)
105 {
106 // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
107 for (i = k - 1; i >= 0; i--)
108 {
109 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
110 // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
111 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
112 for (j = 0; j < var; j++)
113 {
114 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
115 }
116 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
117 // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
118 temp = a[i][var];
119 for (j = 0; j < var; j++)
120 {
121 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
122 }
123 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
124 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
125 }
126 return var - k; // 自由变元有var - k个.
127 }
128 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
129 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
130 for (i = var - 1; i >= 0; i--)
131 {
132 temp = a[i][var];
133 for (j = i + 1; j < var; j++)
134 {
135 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
136 }
137 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
138 x[i] = temp / a[i][i];
139 }
140 return 0;
141 }
142
143 int main(void)
144 {
145 freopen("Input.txt", "r", stdin);
146 int i, j;
147 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
148 {
149 memset(a, 0, sizeof(a));
150 memset(x, 0, sizeof(x));
151 memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
152 for (i = 0; i < equ; i++)
153 {
154 for (j = 0; j < var + 1; j++)
155 {
156 scanf("%d", &a[i][j]);
157 }
158 }
159 // Debug();
160 free_num = Gauss();
161 if (free_num == -1) printf("无解!\n");
162 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");
163 else if (free_num > 0)
164 {
165 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
166 for (i = 0; i < var; i++)
167 {
168 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
169 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
170 }
171 }
172 else
173 {
174 for (i = 0; i < var; i++)
175 {
176 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
177 }
178 }
179 printf("\n");
180 }
181 return 0;
182 }
时间： 2024-10-21 23:51:25