Floyd思想可用下式描述:
A-1[i][j]=gm[i][j]
A(k+1)[i][j]=min{Ak[i][j],Ak[i][k+1]+Ak[K+1][j]} -1<=k<=n-2
该式是一个迭代公式,Ak表示已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点之后各顶点之间的最短路径,即Ak[i][j]表示由Vi到Vj已考虑顶点0,1,.......,k等k+1个顶点的最短路径;在此基础上再考虑顶点k+1并求出各顶点在考虑了顶点k+1之后的最短路径,即得到Ak+1.每迭代一次,在从vi到vj的最短路径上就多考虑了一个顶点;经过n次迭代后所得到的A(n-1)[i][j]值,就是考虑所有顶点后从Vi到Vj的最短路径,也就是最终的解。
若Ak[i][j]已经求出,且顶点i到顶点j的路径长度为Ak[i][j],顶点i到顶点k+1的路径长度为Ak[i][k+1],顶点k+1到顶点j的路径长度为Ak[K+1][j],现在考虑顶点k+1,如果Ak[i][K+1]+Ak[k+1][j]<Ak[i][j],则将原来顶点i到顶点j的路径改为:顶点i到顶点k+1,再由顶点k+1到顶点j;对应的路径长度为:A(k+1)[i][j]=Ak[i][k+1]+Ak[k+1][j];否则无需修改顶点i到顶点j的路径.
参考代码:
1 #include<stdio.h>
2 #define MAXSIZE 6//带权有向图中顶点的个数
3 #define INF 32767
4
5 void Ppath(int path[][MAXSIZE],int i,int j)//前向递归查找路径上的顶点，MAXSIZE为常数
6 {
7 int k;
8 k=path[i][j];
9 if(k!=-1)
10 {
11 Ppath(path,i,k);//找顶点vi的前一个顶点vk
12 printf("%d->",k);//输出顶点vk序号k
13 Ppath(path,k,j);//找顶点vk的前一个顶点vj
14 }
15 }
16
17 void Dispath(int A[][MAXSIZE],int path[][MAXSIZE],int n)//输出最短路径的函数
18 {
19 int i,j;
20 for(i=0;i<n;i++)
21 for(j=0;j<n;j++)
22 if(A[i][j]==INF)//INF为一极大常数
23 {
24 if(i!=j)
25 printf("从%d到%d没有路径!\n",i,j);
26 }
27 else//从vi到vj有最短路径
28 {
29 printf("从%d到%d的路径长度:%d,路径:",i,j,A[i][j]);
30 printf("%d->",i);//输出路径上的起点序号i
31 Ppath(path,i,j);//输出路径上的各中间点序号
32 printf("%d\n",j);//输出路径的终点序号j
33 }
34 }
35
36 void Floyd(int gm[][MAXSIZE],int n)//Floyd算法
37 {
38 int A[MAXSIZE][MAXSIZE],path[MAXSIZE][MAXSIZE];
39 int i,j,k;
40 for(i=0;i<n;i++)
41 for(j=0;j<n;j++)
42 {A[i][j]=gm[i][j];//A-1[i][j]置初值
43 path[i][j]=-1;//-1表示初始时最短路径不经过中间顶点
44 }
45 for(k=0;k<n;k++)//按顶点编号k递增的次序查找当前顶点之间的最短路径长度
46 for(i=0;i<n;i++)
47 for(j=0;j<n;j++)
48 if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j])
49 {A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];//从vi到vj经过vk时路径长度更短
50 path[i][j]=k;//记录中间顶点Vk的编号
51 }
52 Dispath(gm,path,n);//输出最短路径
53 }
54
55 void main()
56 {
57 int g[MAXSIZE][MAXSIZE]={{INF,20,15,INF,INF,INF},{2,INF,INF,INF,10,30},{INF,4,INF,INF,INF,10},
58 {INF,INF,INF,INF,INF,INF},{INF,INF,INF,15,INF,INF},{INF,INF,INF,4,10,INF}};
59 Floyd(g,MAXSIZE);
60 }
输出结果:
时间： 2024-10-05 05:06:03