集训第五周动态规划 I题 记忆化搜索

Description

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

 1  2  3  4 5 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

记忆化搜索当然也还是搜索，只不过在普通的搜索上做了一些优化，因为使用的是动态规划的方法进行的优化，使得它看起来更像DP。首先考虑如果这道题我们只是用普通搜索的方法做，那么就是从某一点开始搜索，一直搜索到最低点，不可以扩展的地方，记录下下滑的长度，那个某一点当然是不可预知的，所以得枚举，也就是说图中的每一点都要搜上一遍，请注意图最大是100*100的，超时肯定是不必说的

所以可以考虑使用dp做，dp比递归好的一个地方在于它解决了重叠子问题，这道题存在很多重叠子问题是不必说的，例如我从10出发，搜到了一条路，下一次我从25出发，等我到达10这一点时，虽然我以前走过这一条路，可是并没有把这一条路记录下来，所以还得重新再走上一遍，这样的重叠问题越多，时间浪费也就越严重，这样的浪费导致了指数级的时间复杂度，是很恐怖的

所以可以使用book【i】【j】（book在英文中有标记的意思）表示从第i行j个开始滑所能下滑的高度

那么动态规划方程为dp（i，j）=max｛dp（i-1，j），dp（i+1,j）,dp(i,j-1),dp(i,j+1)，这些点的高度必须小于i行j列这个点的高度，否则不予考虑｝+1

#include"iostream"
#include"cstring"
using namespace std;

const int maxn=110;

int m,n,book[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int dir[4][2]={{-1,0},{0,1},{1,0},{0,-1}};

void Init()
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    cin>>a[i][j];
    memset(book,-1,sizeof(book));
}

int dp(int i, int j)
{
    int k, ni, nj;
    if (book[i][j] > 0) return book[i][j];
    book[i][j] = 1;
    for (k = 0; k < 4; ++k)
    {
        ni = i + dir[k][0];
        nj = j + dir[k][1];
        if(ni>=1&&ni<=m&&nj>=1&&nj<=n&&a[i][j]>a[ni][nj]&&dp(ni,nj)+1>book[i][j])
        book[i][j] = book[ni][nj] + 1;
    }
    return book[i][j];
}

void Work()
{
    int ans=-1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if(dp(i,j)>ans) ans=book[i][j];
    cout<<ans<<endl;
   // dp(3,3);
   /* for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    for(int j=1;j<=n;j++) cout<<book[i][j]<<" ";
    cout<<endl;
    }*/
}

int main()
{
    while(cin>>m>>n)
    {
     Init();
     Work();
    }
    return 0;
}

HOLLO