调和函数与全纯函数

全纯函数的实部和虚部是调和函数，这是很显然的.自然的要问一个问题：

如果$u$是区域$D$上的调和函数,那么是否一定存在一个函数$f\in H(D)$使得$${\rm Re}f=u$$成立呢？

一般来讲这个结论不对的.但是如果限制区域$D$是单连通的,那么结论就对了.下面给出这个结论的证明：注意到$\Delta u=0$,而且$D$单连通,从而$$-u_{y}{\rm d}x+u_{x}{\rm d}y$$是一个函数的全微分,因而积分与路径无关,令$$v(x,y)=\int_{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)}-u_{y}{\rm d}x+u_{x}{\rm d}y$$

那么考虑函数$f=u+iv$,其中$u,v$均实可微且满足Cauchy-Riemann方程,从而$f\in H(D)$.

注记:如果要求$u$是全纯函数的虚部,那么考虑函数$if$即可.

时间： 2024-08-14 16:56:04

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