上大学的时候学习的微积分，虽然那时候的数学也挺好，但是有一些概念还是知其然不知其所已然。最近在学习图像识别方面的知识，里面用到了大量的微积分学的东西，因此不得不再次重温书本里面的东西。再次阅读时真的发现了一些不同于以往的知识感悟，所以说2千多年前的先辈总结的”温故而知新“真的是很有作用。
导数
以前对导数的理解就是干巴巴的数学公式，就是理解为在某一点上y的增量对x增量的商的极限值，因此导数又成为微商。其实导数的物理意义就是因变量在某一点附近对自变量的变化率，而在几何上则表示为曲线上某点的切线直线的斜率值。根据导数的定义：
f(x) - f(x0)
f‘(x0) = lim --------------
x->x0 x - x0
那么我们可以得出一个公式 ： f(x) ≈ f(x0) + f‘(x0)*(x - x0) 当x越接近于x0时这个近视值就越相等，因此导数的一个实践意义就是如果我们知道某个函数在某点的值（总所周知或者比较容易计算出来）那么我们就可以通过导数来求出某点附近的函数值的大约值，这个可以用于某些测量和估算应用。通过上面的描述也可以看出如果某个函数在某点内有导数则说明这个函数是连续的而且在这这点上比较平滑，因此才可以用线性函数的值来代替曲线函数的值。
在几何上我们知道导数就是函数在某点x0的切线的斜率，那么我们就可以用导数来描述这条切线直线的函数：
设函数f(x)在某点x0处的导数为f‘(x0).那么函数在x0处的切线的函数解析式F(x)的公式如下：
F(x) = f(x0) + f‘(x0) *(x - x0)
因为切线和曲线只相交一点f(x0),所以 f(x0) = F(x0),得出：
F(x) - F(x0) = f‘(x0)*(x - x0)
从上面的定义我们可以看出如果x->x0 则 F(x) = f(x) 也就是说我们可以通过线性直线来描述某个曲线的函数值，结果是我们可以把复杂的计算转化为简单的线性计算。
微分
我们知道微分的概念定义是函数在某一点的增量Δy 可以表示为某个常量A于Δx的乘积加上O(Δx),则成为函数在x0处可微，则称A*Δx为函数在x0处的微分记为dy
根据导数的定义我们知道：
Δy ≈ f‘(x0)*Δx 因此dy = f‘(x0)*Δx 而Δx因为对自己可微，因此有dy = f‘(x0) * dx。
上面有导数的切线函数F(x)。则根据定义可以得到
F(x) - F(x0) = dy
因此我们可以得到微分的几何意义是某个函数在某一点的增量可以大概表示为线性函数F(x)的增量，也就是我们可以用线性的增量来计算复杂的曲线增量。
定积分
从不定积分的概念我们知道积分就是微分的逆向运算。
F(x) + C = ∫ f(x)dx
f(x)是F(x)的导数，而f(x)dx = dy
所以得出F(x)+C = ∫dy
那么在定积分定义里面
a
∫ f(x)dx
b
是定义为
b
lim ∑ f(x)*dx
dx->0 x=a
因为f(x)是原函数F(x)的导数，而f(x)*dx是F(x)在某处的微增量，那么从a->b的微增量的和也就是F(a)到F(b)的增量了，也就是说
a
F(b) - F(a) = ∫ f(x)dx
b
这就是为什么定积分的计算公式就是原函数的两个区间的差值了。