NOJ1859 越野赛 三维DP

题目描述

大戈壁越野赛前后分为很多赛段，一个车队也有多辆车。一个车队在一个赛段只能使用一辆车，但是到达赛段中转站（分隔各赛段的点）时可以任意更换车辆，当然也可以不换。在不同赛段，不同的车有着不同的表现，如果规则不限定换车次数，显然可以在每一个赛段都用最好用的车，但很不幸，换车次数有限定，那么，安排一个合理的换车策略十分重要。我们认为，车队可以选择任意一种车开始赛程，不算换车次数。

现在依次给出从起点到终点N个赛段中每辆车的表现（跑完当前赛段所需时间），请计算出跑完全部赛程所需最短时间

输入

第一行包含三个正整数N、M、Q，分别表示赛段数、车队用车种类、最大更换车辆次数限制（1≤N≤10000，1≤M≤10，1≤Q≤100）。

接下来M行，每行N个正整数。第i行第j个数表示i号车在第j赛段的表现（这辆车跑完这个赛段所需时间），每个赛段的时间上限保证不超过1000。

输出

输出一行，包含一个整数，表示车队在规则限定内的赛程最短完成时间

输入样例

3 2 1

1 4 1

2 2 3

输出样例

5

解题思路

三维DP  dp[i][j][k]数组表示到i段赛道,换了j次车,最后选择的车是k车的最小时间

假设我们现在已经考虑过前(i-1)段赛道  现在考虑第i段赛道。

如果在第i段赛道不换车 那么d[i][j][k] = d[i-1][j][k] + speed[i][k];

如果在第i段赛道换车 那么d[i][j][k] = min(d[i-1][j-1][x]) + speed[i][k]; (x不等于k)

把两个式子合在一起 则 d[i][j][k] = min(d[i-1][j][k] , d[i-1][j-1][x](x不等于k)) + speed[i][k]

最后的答案应该是min(d[赛道数][x][y])

下面考虑一下初始化........

可以看出(i,j)状态是由(i-1,j)和(i-1,j-1)这两个状态推出的 所以外循环遍历i 内循环遍历j 再在里面遍历k.

所以我们要初始化i = 1 和 j = 0的情况.....

详见代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define INF 1000000010
const int max_saidao = 10010;
const int max_che = 15;
const int max_huanche = 105;
using namespace std;
int speed[max_saidao][max_che];//speed[i][j]表示第i个赛道 第j辆车的速度
int dp[max_saidao][max_huanche][max_che];//dp[i][j][k]表示前i个赛道换了j次 最后使用的车是k  的最短时间
int main()
{
    int saidao,che,huanche;
    scanf("%d%d%d",&saidao,&che,&huanche);
    for(int i = 1 ; i <= che ; i ++) {
        for(int j = 1 ; j <= saidao ; j ++) scanf("%d",&speed[j][i]);
    }
    for(int i = 0 ; i <= saidao ; i ++) {
        for(int j = 0 ; j <= huanche ; j ++) {
            for(int k = 0 ; k <= che ; k ++) dp[i][j][k] = INF;
        }
    }
    //初始化dp[1][0][x]
    for(int i = 1 ;i <= che ; i ++) dp[1][0][i] = speed[1][i];
    //初始化dp[x][0][x]
    for(int i = 1 ;i <= che ; i ++) {//第i辆车，不换
        for(int j = 2 ; j <= saidao ; j ++) {
            dp[j][0][i] = dp[j-1][0][i] + speed[j][i];
        }
    }

    //dp
    for(int i = 2 ; i <= saidao ; i ++) {
        for(int j = 1 ; j <= huanche && j < i ; j ++) {
            for(int k = 1 ; k <= che ; k ++) {
                int _min = INF;
                for(int p = 1 ; p <= che ; p ++) {
                    if(p != k) if(_min > dp[i-1][j-1][p]) _min = dp[i-1][j-1][p];
                }
                if(_min > dp[i-1][j][k]) _min = dp[i-1][j][k];
                dp[i][j][k] = _min + speed[i][k];
            }
        }
    }

    //输出dp[saidao][x][y]中最小的
    int _min = INF;
    for(int i = 0 ; i <= huanche ; i ++) {
        for(int j = 1 ; j <= che ; j ++) {
            if(_min > dp[saidao][i][j]) _min = dp[saidao][i][j];
        }
    }
    printf("%d\n",_min);
    return 0;
}