HDU 1452 (约数和+乘法逆元)

题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1452

题目大意：求2004^X所有约数和，结果mod 29。

解题思路：

①整数唯一分解定理：

一个整数A一定能被分成：A=(P₁^K₁)*(P₂^K₂)*(P₃^K₃).....*(P_n^K_n)的形式。其中P_n为素数。

如2004=(2²)*3*167。

那么2004^x=(2^2x)*(3^x)*(167^x)。

②约数和公式

对于一个已经被分解的整数A=(P₁^K₁)*(P₂^K₂)*(P₃^K₃).....*(P_n^K_n),

有约数和S=(1+P₁²+P₁³+.....P₁^k₁)*.....(1+P_n²+P_n³+.....P_n^k_n)。

(1+P1²+P1³+.....P1^k1)是一个等比数列，化简为(P1^k1+1 -1)/(P1-1).

对于2004^X, 只要求出a=pow(2,2*x+1)-1，b=pow(3,x+1)-1，c=pow(167,x+1)-1即可，使用快速幂计算，注意快速幂模板里要mod。

关键问题在于ans=(a*b/2*c/166) mod 29的计算问题，因为除法是不能同余计算的，所以要计算2*166关于29的乘法逆元，转化成乘法取模。

所以ans=(a*b*c*rev) mod 29。

#include "cstdio"
#define LL long long
#define mod 29
LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(a==0&&b==0) return -1;
    if(b==0) {x=1;y=0;return a;}
    LL d=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
LL mod_reverse(LL a,LL n)
{
    LL x,y,d=ex_gcd(a,n,x,y);
    if(d==1) return (x%n+n)%n;
    else return -1;
}
LL pow(LL a,LL n)
{
    LL base=a,ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=(ret*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        n>>=1;
    }
    return ret%mod;
}
int main()
{
    LL T,x;
    while(scanf("%I64d",&x)!=EOF&&x)
    {
        LL a=pow(2,2*x+1)-1,b=pow(3,x+1)-1,c=pow(167,x+1)-1,rev=mod_reverse(2*166,mod);
        printf("%I64d\n",(a*b*c*rev)%mod);
    }
}