高斯消元解异或方程组
小Ho在游戏板上忙碌了30分钟,任然没有办法完成,于是他只好求助于小Hi。
小Ho:小Hi,这次又该怎么办呢?
小Hi:让我们来分析一下吧。
首先对于每一个格子的状态,可能会对它造成影响的是其自身和周围4个格子,这五个格子被按下的总次数也就等于该格子所改变的总次数。
对于任意一个格子,如果这个格子改变了偶数次状态,则等价于没有发生改变。
我们可以将1看作格子亮着,0看作格子暗着,每改变1次就加1,最后格子的状态等于其总数值 MOD 2。
则其运算结果刚好满足异或运算,即每改变一次等于状态值 xor 1。
同样的对于一个格子和它周围的4个格子来说,若格子被按下偶数次,它自身和周围4个格子的状态也等于没有发生改变。所以我们可以知道:任意一个格子至多被按下一次。
假设有数组x[1..30],分别表示这30个格子是否按下1次,若按下则x[i]=1,否则x[i]=0。
则对于1个格子,他最后的状态为:
当前状态 = 初始状态 xor (a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30])
其中a[i]表示格子i是否会对当前格子产生影响,若能够则a[i] = 1,否则a[i] = 0
对方程进行变换有:
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 当前状态 xor 初始状态
因为我们的目标是要让所有等格子都为亮的状态,故我们需要让 当前状态 = 1,则:
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = 1 xor 初始状态
不妨设y = 1 xor 初始状态:
(a[1] * x[1]) xor (a[2] * x[2]) xor ... xor (a[30] * x[30]) = y
对于所有的格子,我们可以连立出方程组:
(a[ 1][1] * x[1]) xor (a[ 1][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 1][30] * x[30]) = y[ 1] (a[ 2][1] * x[1]) xor (a[ 2][2] * x[2]) xor ... xor (a[ 2][30] * x[30]) = y[ 2] ... (a[30][1] * x[1]) xor (a[30][2] * x[2]) xor ... xor (a[30][30] * x[30]) = y[30]
到此,我们的目标就是求出一个x[1..30],使得上面的方程组成立。
小Ho:这个看上去和高斯消元很像啊。
小Hi:没错,这个方程组叫异或方程组,它可以用和高斯消元同样的方法来解决。
其解答过程几乎和高斯消元无异,判定无解和多解的方式也相同。唯一需要注意的是消元过程不再是高斯消元的加减,而是通过xor运算来进行消元。比如消除第j行第i列的1:
a[j][k] = a[j][k] xor a[i][k], y[j] = y[j] xor y[i]
其原理是:
(a[j][1] * x[1]) xor (a[j][2] * x[2]) xor ... xor (a[j][30] * x[30]) xor (a[i][1] * x[1]) xor (a[i][2] * x[2]) xor ... xor (a[ i][30] * x[30]) = y[j] xor y[i] <=> ((a[j][1] * x[1]) xor (a[i][1] * x[1])) xor (((a[j][2] * x[2]) xor (a[i][2] * x[2]))) xor ... xor ((a[j][30] * x[30]) xor (a[i][30] * x[30])) = y[j] xor y[i]<=> ((a[j][1] xor a[i][1]) * x[1]) xor ((a[j][2] xor a[i][2]) * x[2]) xor ... ((a[j][30] xor a[i][30]) * x[30]) = y[j] xor y[i]
而且由于给定游戏板是固定的,我们可以知道a[i][j]矩阵一定是固定的,而且通过计算可以知道我们消元得到的上三角矩阵也是固定的,并且在这一次的问题中该上三角矩阵是满秩的,所以其一定存在唯一解。
所以我们一定有办法完成这个游戏。
小Ho:我明白了,我这就去写程序,这奖品我拿定了!
#include <cmath> #include <cstdio> #include <iostream> #define N 35 #define D(x, y) (((x) - 1) * 6 + (y)) using namespace std; int ans; int a[N][N]; char s[N][N]; inline void Guass() { int i, j, k, t; for(j = 1; j <= 30; j++) { t = j; for(i = j; i <= 30; i++) if(a[i][j] > a[t][j]) t = i; if(t != j) swap(a[t], a[j]); for(i = j + 1; i <= 30; i++) if(a[i][j]) for(k = j; k <= 31; k++) a[i][k] ^= a[j][k]; } for(i = 30; i >= 1; i--) { for(j = i + 1; j <= 30; j++) a[i][31] ^= (a[i][j] * a[j][31]); if(a[i][31]) ans++; } } int main() { int i, j; for(i = 1; i <= 5; i++) { scanf("%s", s[i] + 1); for(j = 1; j <= 6; j++) { a[D(i, j)][D(i, j)] = 1; a[D(i, j)][31] = 1 ^ (s[i][j] - ‘0‘); if(1 < i && i <= 5) a[D(i - 1, j)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i - 1, j)] = 1; if(1 <= i && i < 5) a[D(i + 1, j)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i + 1, j)] = 1; if(1 < j && j <= 6) a[D(i, j - 1)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i, j - 1)] = 1; if(1 <= j && j < 6) a[D(i, j + 1)][D(i, j)] = a[D(i, j)][D(i, j + 1)] = 1; } } Guass(); printf("%d\n", ans); for(i = 1; i <= 5; i++) for(j = 1; j <= 6; j++) if(a[D(i, j)][31]) printf("%d %d\n", i, j); return 0; }