最大流求混合图是否存在欧拉回路。
以下内容摘自http://www.cnblogs.com/Missa/archive/2012/12/05/2803107.html 讲的很清楚。
混合图的欧拉回路问题 欧拉回路问题。 1 定义 欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。 欧拉图——存在欧拉回路的图。 2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定 G有欧拉通路的充分必要条件为:G 连通,G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。 G有欧拉回路(G为欧拉图):G连通,G中均为偶度顶点。 3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定 D有欧拉通路:D连通,除两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度,这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。 D有欧拉回路(D为欧拉图):D连通,D中所有顶点的入度等于出度。 4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合,即图中的边既有有向边也有无向边。 5 混合图欧拉回路 混合图欧拉回路用的是网络流。 把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。 现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以 2,得 x。即是说,对于每一个点,只要将 x 条边反向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了:该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。有向边不能改变方向,直接删掉。开始已定向的无向边,定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限 1。另新建 s 和 t。对于入 > 出的点 u,连接边(u, t)、容量为 x,对于出 > 入的点 v,连接边(s, v),容量为 x(注意对不同的点x不同)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。查看流值分配,将所有流量非 0(上限是 1,流值不是 0 就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有 x 条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和 s、t 连接的点怎么办?和s 连接的条件是出 > 入,和 t 连接的条件是入 > 出,那么这个既没和 s 也没和 t 连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。 所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。
代码:
/*********************************************** Problem: 1637 User: G_lory Memory: 328K Time: 141MS Language: C++ Result: Accepted ***********************************************/ #include <iostream> #include <cstdio> #include <queue> #include <cstring> #define pk puts("kk"); using namespace std; const int N = 205; const int INF = 0x7fffffff; int cap[N][N]; int flow[N]; int pre[N]; queue<int> q; int bfs(int src, int des) { while (!q.empty()) q.pop(); memset(pre, -1, sizeof pre); q.push(src); flow[src] = INF; while (!q.empty()) { int idx = q.front(); if (idx == des) break; q.pop(); for (int i = 0; i <= des; ++i) { if (pre[i] == -1 && cap[idx][i] > 0) { flow[i] = min(flow[idx], cap[idx][i]); pre[i] = idx; q.push(i); } } } if (pre[des] == -1) return -1; return flow[des]; } int maxFlow(int src, int des) { int ans = 0; int in; while ((in = bfs(src, des)) != -1) { int k = des; while (k != src) { int last = pre[k]; cap[last][k] -= in; cap[k][last] += in; k = last; } ans += in; } return ans; } int in[N]; int main() { int t; scanf("%d", &t); while (t--) { int n, m; memset(cap, 0, sizeof cap); memset(flow, 0, sizeof flow); memset(in, 0, sizeof in); scanf("%d%d", &n, &m); int a, b, c; while (m--) { scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); in[a]--; in[b]++; if (c == 0) cap[a][b]++; } int flag = 1; for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (in[i] & 1) { flag = 0; break; } } if (!flag) { puts("impossible"); continue; } int sum = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (in[i] < 0) cap[0][i] += ((-in[i]) >> 1); else if (in[i] > 0) { sum += (in[i] >> 1); cap[i][n + 1] += (in[i] >> 1); } } if (sum == maxFlow(0, n + 1)) puts("possible"); else puts("impossible"); } return 0; }
时间: 2024-10-26 07:36:34