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一个多月前“过”了这道题,还自欺欺人地认为懂了这道题,这直接导致了昨晚多校联测2的T3爆炸,现在想来简直是道水题,不过还是要有“懂得这题怎么做”的前提。。。地精部落这道题可以约化为另一个问题:对于n的排列,告诉你每个数相比于前一个数是大了、小了、还是都可以,求这样的排列的方案数。
先说这一题叭,看过很多其他人的题解,依然是云里雾里,因此我会写的详细一点。我的写法可能与其他人有些不同,但是本质是完全一样的。
首先令f(i, j)表示已经考虑完i的排列了,最后一个数是j,且它为山谷的方案数。这里特别注意!这个i的排列并不一定非要是闭区间[1, i]里的数!这种排列仅仅表示一个大小关系,一种相对的关系,有种离散化的感觉(也可以理解为考虑完i个数了,最后一个数是其中第j小的,且它为山谷的方案数)。这一点非常重要,一定要理解,如不理解可以先往下看,我后面会举个例子。类似地,令g(i, j)表示已经考虑完i的排列了,最后一个数是j,且它为山峰的方案数。那么状态转移方程就是:
①
为什么是这样呢?首先f数组的值一定是从g数组转移过来的,因为如果这个是山谷,那么上一个就是山峰。那么为什么等于后面那一串呢?考虑这个例子,7253,这是你填完最后一个数字3后的某个方案。很显然,这种方案应该属于状态f(4, 2),因为已经考虑4个数了,3是其中第2小的。那么f(4, 2)这种状态可以从g(3, 2)与g(3, 3)转移过来,在7253这个例子中,f(4, 2)是从g(3, 2)转移过来的,因为在725中,5是第2小的。那么前i - 1个数中,最小能小到多少呢?(当然是考虑最小的,因为越大,就越可能转移到当前状态,所以最大能大到第i - 1小)答案是能小到j。因为前i个数中第j小的,必然比前i - 1个数中第j小的要小!可以通过刚刚7253这个例子来感受一下,3是前4个数中第2小的,5是前3个数中第2小的。
这个弄懂了之后,我们又可以发现一个很容易发现、非常显然的结论:把一个符合条件的n的排列,对于没一个数i,将其改为n + 1 - i,新的排列依然符合条件,并且原来的山峰变成山谷,山谷变成山峰,因此有:
②
联立①②,得
用一个辅助变量s,就可以O(1)转移了,最后ans = (f[n][1] + f[n][2] + ... + f[n][n]) * 2,因为f表示的是最后一个为山谷,根据那个显然的结论,可以得到等量的最后一个为山峰的方案数。在加一个滚动数组压缩空间就可以过了。
#include <cstdio> #include <cstring> const int maxn = 4205; int n, p, f[2][maxn], s, ans; int main(void) { scanf("%d%d", &n, &p); f[1][1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { memset(f[i & 1], 0, sizeof f[0]); s = 0; for (int j = i - 1; j; --j) { s = (s + f[i & 1 ^ 1][i - j]) % p; f[i & 1][j] = s; } } for (int j = 1; j <= n; ++j) { ans = (ans + f[n & 1][j]) % p; } printf("%d\n", (ans << 1) % p); return 0; }