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协方差:用来度量两个随机变量关系的统计量。
公式简单翻译一下是:对于X,Y两个变量,每个时刻的“X值与其均值之差” 乘以 “Y值与其均值之差”得到一个乘积,再对这每时刻的乘积求和并求出均值。
总结一下,如果协方差为正,说明X,Y同向变化,协方差越大说明同向程度越高;如果协方差为负,说明X,Y反向运动,协方差越小说明反向程度越高。
相关系数:
翻译一下:就是用X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差。
所以,相关系数也可以看成协方差:一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。
既然是一种特殊的协方差,那它:
1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向,如果同向变化就为正,反向变化就为负。
2、由于它是标准化后的协方差,因此更重要的特性来了:它消除了两个变量变化幅度的影响,而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。
标准差描述了变量在整体变化过程中偏离均值的幅度。协方差除以标准差,也就是把协方差中变量变化幅度对协方差的影响剔除掉,这样协方差也就标准化了,它反应的就是两个变量每单位变化时的情况。这也就是相关系数的公式含义了。
总结一下,对于两个变量X、Y:
(1)当他们的相关系数为1时,说明两个变量变化时的正向相似度最大,即,你变大一倍,我也变大一倍;你变小一倍,我也变小一倍。也即是完全正相关(以X、Y为横纵坐标轴,可以画出一条斜率为正数的直线,所以X、Y是线性关系的)。
(2)随着他们相关系数减小,两个变量变化时的相似度也变小,当相关系数为0时,两个变量的变化过程没有任何相似度,也即两个变量无关。
当相关系数继续变小,小于0时,两个变量开始出现反向的相似度,随着相关系数继续变小,反向相似度会逐渐变大。
(3)当相关系数为-1时,说明两个变量变化的反向相似度最大,即,你变大一倍,我变小一倍;你变小一倍,我变大一倍。也即是完全负相关(以X、Y为横纵坐标轴,可以画出一条斜率为负数的直线,所以X、Y也是线性关系的)。
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