深入浅出乘法逆元

　1.模的运算律

　2.定义

　3.求解

　　3.1费马小定理

　　3.2扩展欧几里得算法

　　3.3线性求解

深入浅出乘法逆元

模的运算律

先来一波模运算律表：

定义

有的时候我们需要对一个数取模，这很简单。但是在取模的过程中出现了除数，那么取模就没这么简单了：

\[\frac{7}{2}\%4=3\%4=3\]注意：\(\frac{7\%4}{2}=\frac{3}{2}=1\)是错误的

但万一是\(\frac{7^{10000}}{2}\%4\)计算机可无法先计算\(\frac{7^{10000}}{2}\)再\(\pmod4\)，因为数字太大了。

这个时候我们就需要用到乘法逆元了,事实上:\(\frac{7^{10000}}{2}=(7*3)^{10000}\)。我们运用模的运算律可以通过边乘边取模即可得到答案，其中3是7在\(\pmod 4\)意义下的逆元。

关于逆元的严格定义如下：

\(若整数b,m互质,并且b\mid a，则存在整数x，使得a/b\equiv a*x\pmod m，则称x为b的模m乘法逆元，记为b^{-1}\pmod m\)

求解

3.1费马小定理

¹

因为\(a/b\equiv a*b^{-1}\equiv a/b*b*b^{-1}\pmod m\)，所以\(b*b^{-1}\equiv 1\pmod m\)²

如果m是质数(此时我们用符号\(p\)代替\(m\))并且\(b<p\),根据费马小定理\(b^{p-1}\equiv 1\pmod p\)，即\(b*b^{p-2}\equiv1\pmod p\)。因此，当模数\(p\)为质数时，\(b^{p-2}\)为\(b\)的乘法逆元。

到最后我们可以用快速幂来迅速求出\(b^{p-2}\)。代码如下：

int ksm(int a,int b,int p) {
    int ans=1;
    for(; b; b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;
    return ans;
}

时间复杂度是\(O(\log n)\)

3.2扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法的具体内容参考我写的：浅析扩展欧几里得算法(exgcd)

根据逆元的定义我们要求的是\(a*x\equiv1\pmod m\)关于x的同余方程，其中x为a在\(\pmod m\)意义下的逆元

事实上\[ax=by+1······①\]也就是\(ax\div m=y······1\)

变形①式得：\[ax-by=1\]

既然\(a,b\)都已知，就不难求出\(x和y\)了(但要注意\(y\)的系数\(-b\)必须是正整数，因为在计算机计算过程中如果模数是负的将导致结果出错)如果\(-b\)不是正整数，我们同时改变\(a,b\)的符号即可，\(a\)的符号并不影响结果。扩展欧几里得算法代码如下：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b) {
        int c=exgcd(a,b,y,x);
        y-=a/b*x;
        return c;
    } else {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
}

时间复杂度是\(O(\ln n)\)

3.3线性求解

当我们需要求解大量的逆元的时候，前两种的方法时间复杂度都要乘以\(n\)，时间复杂度都不是很理想。所以我们就用\(O(n)\)的时间来快速求解。具体做法如下：假设我们要求x的逆元，那么：\[m=k*x+r\]\[k*x+r\equiv0\pmod m\]同乘以\(x^{-1}*r^{-1}\)得：\[k*r^{-1}+x^{-1}\equiv0\pmod m······①\]将②式变形得：\[x^{-1}\equiv-k*r^{-1}\pmod m\]

所以我们得到:\[x^{-1}=-\lfloor m/x\rfloor*(m\%x)^{-1}\]

那么只要建一个数组inv，初始值inv[1]=1。所以代码如下：

    for(int i=2; i<=n; i++)
        inv[i]=-(p/i)*inv[p%i];

1. 这种方法的常数比较大。?
2. \(b^{-1}\equiv b^{-1}\pmod m\)其中前一个是\(\div b\)，后一个是\(a\)的逆元\(b\)；根据模的运算律\((a/b*b*b^{-1})\%m=((a/b)\%m*((b*b^{-1})\%m)\%m\),显然\((b*b^{-1})\%m=1\)?

原文地址：https://www.cnblogs.com/kcfzyhq/p/8488243.html