Uva 10601 Cubes 六维背包+burnside引理

题意:链接

方法:六维背包+burnside引理

解析:

挺好玩的一道burnside/polya题

结果我看到后既然这道题有颜色的限制，那么直接想起了card那道题。搞个背包什么的。

正方体有24种旋转方式。

面中心旋转

有 4 4 4 的置换 *3(90°)

有 2 2 2 2 2 2 的置换 *3(180°)

有 4 4 4 的置换 *3(90°)

棱中心旋转

有 1 1 2 2 2 2 的置换 *6

点对称旋转

有 3 3 3 3 的置换 *4

接下来呢？

怎么确定不变的置换的个数

对于每种置换的小置换群来说都要选同一颜色才能满足。

所以上6维背包。

当然有用组合数搞得，不过还是6维背包爽。

不过如果你开一个12^6的背包的话，每次memset时间都要够呛了。

所以需要开成什么样的呢？

我们统计完12个棱长的颜色后

按降序排序之后，发现第一维是<=12的，第二维是<=6的，第三维是<=4的，第四维是<=3的，第五维是<=2的，第六维是<=2的。

这样的话，背包内存一下子就变到了10000多，直接上能过。并且时间为10ms，容易理解。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N f[j][k][l][m][n][o]
using namespace std;
typedef long long ll;
ll f[13][7][5][4][3][3];
int a[7];
int size[15];
int t,cnt;
ll ans;
void backpack()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0][0][0][0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    for(int j=a[1];j>=0;j--)
    for(int k=a[2];k>=0;k--)
    for(int l=a[3];l>=0;l--)
    for(int m=a[4];m>=0;m--)
    for(int n=a[5];n>=0;n--)
    for(int o=a[6];o>=0;o--)
    {
        if(j>=size[i])N+=f[j-size[i]][k][l][m][n][o];
        if(k>=size[i])N+=f[j][k-size[i]][l][m][n][o];
        if(l>=size[i])N+=f[j][k][l-size[i]][m][n][o];
        if(m>=size[i])N+=f[j][k][l][m-size[i]][n][o];
        if(n>=size[i])N+=f[j][k][l][m][n-size[i]][o];
        if(o>=size[i])N+=f[j][k][l][m][n][o-size[i]];
    }
}
void solve()
{
    size[1]=size[2]=size[3]=4;
    cnt=3;
    backpack();
    ans+=6*f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]][a[6]];

    size[1]=size[2]=size[3]=size[4]=size[5]=size[6]=2;
    cnt=6;
    backpack();
    ans+=3*f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]][a[6]];

    size[1]=size[2]=1,size[3]=size[4]=size[5]=size[6]=size[7]=2;
    cnt=7;
    backpack();
    ans+=6*f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]][a[6]];

    size[1]=size[2]=size[3]=size[4]=3;
    cnt=4;
    backpack();
    ans+=8*f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]][a[6]];

    size[1]=size[2]=size[3]=size[4]=size[5]=size[6]=1;
    size[7]=size[8]=size[9]=size[10]=size[11]=size[12]=1;
    cnt=12;
    backpack();
    ans+=f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]][a[6]];
}
int cmp(int a,int b)
{
    return a>b;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ans=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        int x;
        for(int i=1;i<=12;i++)scanf("%d",&x),a[x]++;
        sort(a+1,a+6+1,cmp);
        solve();
        printf("%lld\n",ans/24ll);
    }
}

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