不行啊最近备考简直变成文化狗了= =。。我还脑洞大开想学俄语什么心态。。

简单地说一下FFT(来,跟我一起念,法?法?塔,法斯特~福铝页~圈死佛而母)。。

FFT本来是做信号变换用的,当然OI和信号变换搭不上边.但是大家都知道,FFT可以快速求卷积.这可以说是由复数的性质决定的.

FFT是什么

FFT,是DFT的一种实现.它可以在$\theta \left( n\log_2{n}\right)$(其中n为输入规模)时间内完成DFT.

也就是说,FFT是DFT的一种具体实现.因此,与其问FFT是什么,更不如问DFT是什么.

DFT:Discrete Fourier Transform即离散傅里叶变换.由于计算机并不能真正处理连续数据,因此我们所说的傅里叶变换仅限于DFT.

具体的,计算机和人类都不可能完全识别连续数据,设这个连续数据是一个函数$\mathtt{F} ( t) \mathtt{ \ } ( t \in \mathbb{R}^+)$,我们只能选择一些点$t_n \mathtt{ \ } ( t_n \in \mathbb{R}^+, n \in \mathbb{Z}^+, t_{n - 1} < t_n)$,令$f_n = \mathtt{F} ( t_n)$,这个过程称为采样,这些$t_n$被称为采样点.一般我们规定只能取有限个采样点并且每个采样点间距相同,即$t_n = t_{n - 1} + b \mathtt{ \ } \left( \mathtt{const } b = \frac{1}{\max n}, n \in \mathbb{Z}^+ \right)$,此时既然采样点间距相同,采样点的数据也是成序列的.不妨设这个序列为$\mathtt{S}_f$.

傅里叶变换其实是由一个定义在F上的积分\[ \widehat{\mathtt{F}} (\xi) = \int_{- \infty}^{\infty} \mathtt{F} (x) e^{- 2 \pi i x \xi} \text{dx} \]定义的.这是连续傅立叶变换,自然的,我们可以很轻松地写出离散傅里叶变换\[ \widehat{\mathtt{S}_{\mathtt{F}}} [ k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} \mathtt{S}_{\mathtt{F}} [ n] e^{\frac{- 2 \pi i n k}{N}} \left( \mathrm{for easier input,lets define N as} \max n \right) \]基本就是把积分换成求和而已.

附加题^×1: 已知傅立叶变换的逆变换是\[ \mathtt{F} (x) = \int_{0}^{\infty} \hat{\mathtt{F}} (\xi) e^{2 \pi i \xi x} \hspace{0.25em} d \xi \]写出它的离散形式.

FFT怎么做

很自然地,我们想到一个问题: