例题9-3 旅行 UVa1347

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题看似一道几何问题，实际上可以利用动态规划解决。走一圈周长最短可以等价为两个人同时从最左端出发，沿着不同的路径走到最右端。如果定义d(i,j)表示1~max(i,j)全部走过，第一个人在i,第二个人在j，还需要走多长的距离。此时可以规定i>j,这样，还可以规定i,j中只有一个人允许走到i+1这一点。这样的话可以保证不会出现某些点跳过的情况。状态转移方程如下：

d(i,j)=min(d(i+1,j)+dist(i,i+1),d(i+1,i)+dist(j,i+1));

第二项表示为d(i+1,i)是因为已经规定i>j，又根据d(i,j)的定义易知有d(i,j)=d(j,i)，因此d(i,i+1)可写为d(i+1,i)。本题的状态数有O(N^2)个，每次状态的决策只有2个，因此时间复杂度为O(N^2)。本题中由于j<i，因此还可以提前计算好所有j<i的距离，这样可以避免重复计算距离，进一步提升效率。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<functional>
using namespace std;

#define maxn 1000+10
struct node
{
	int x, y;
}p[maxn];
int n;
double ans;
double d[maxn][maxn];//表示1到max(i,j)均已经走过，第一个人在i,第二个人在j，还需要走多长的距离
double dist(int i, int j)
{
	int dx = p[i].x - p[j].x;
	int dy = p[i].y - p[j].y;
	return hypot(dx, dy);
}
double dp(int i, int j)
{
	double&ans = d[i][j];
	if (ans > 0)return ans;
	if (i == n - 1)
		return ans = dist(i, n) + dist(j, n);
	ans = min(dp(i + 1, j) + dist(i, i + 1), dp(i + 1, i) + dist(j, i + 1));
	return ans;
}
int main()
{
	//freopen("test.txt", "r", stdin);
	while (scanf("%d", &n) != EOF)
	{
		memset(d, 0, sizeof(d));
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
		}
		dp(2, 1);
		ans = dist(1, 2) + d[2][1];
		printf("%.2lf\n", ans);
	}
	return 0;
}