线性求解单应矩阵 Homography

定义：

2D单应：给定图像$\mathbb{P}^{2}$中的特征点集$\mathbf{x}_i$和另一幅图像在$\mathbb{P}^{2}$ 中对应的特征点集$\mathbf{x}_{i}^{‘}$，  将$\mathbf{x}_i$映射到$\mathbf{x}^{‘}_{i}$的射影变换。在实际情况中，点$\mathbf{x}_{i}$和$\mathbf{x}^{‘}_{i}$是两幅图像上的点，每幅图像都视为一张射影平面$\mathbb{P}^{2}$

$\mathbf{x}^{‘}_{i}=H\mathbf{x}_{i}$

我们首先讨论由给定 2D 到 2D 的四组点对应$ x_{i}   \leftrightarrow   x_{i}^{‘}$,确定H的一种简单的方法是线性算法$x^{‘}_{i}=Hx_{i}$，这是一个齐次方程,所以$\mathbf{x}_{i}^{‘} 和$H\mathbf{x}^‘$不相等,它们有相同的方向,但是在大小上相差一个非零因子.

使用叉乘表示: $\mathbf{x}_{i}^{‘\wedge}H\mathbf{x}^{‘}_{i}=0$

将矩阵H的第j行记为$\mathbf{h}^{jT}$得

$$H \mathbf{x}_i=\begin{pmatrix}

{\mathbf{h}^{1T} \mathbf{x}_i}\\

{\mathbf{h}^{2T} \mathbf{x}_i}\\

{\mathbf{h}^{3T} \mathbf{x}_i}\\

\end{pmatrix}$$

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