【题目】
给定一棵二叉树的头节点head,已知所有节点的值都不一样,返回其中最大的且符合搜索二叉树条件的最大拓扑结构的大小。
【题解】
方法一:二叉树的节点数为N,时间复杂度为O(N2)的方法。
首先来看这样一个问题,以节点h为头的树中,在拓扑结构中也必须以h为头的情况下,怎么找到符合搜索二叉树条件的最大结构?这个问题有一种比较容易理解的解法,我们先考查h的孩子节点,根据孩子节点的值从h开始按照二叉搜索的方式移动,如果最后能移动到同一个孩子节点上,说明这个孩子节点可以作为这个拓扑的一部分,并继续考查这个孩子节点的孩子节点,一直延伸下去。
我们以题目的例子来说明一下,假设在以12这个节点为头的子树中,要求拓扑结构也必须以12为头,如何找到最多的节点,并且整个拓扑结构是符合二叉树条件的?初始时考
查的节点为12节点的左右孩子,考查队列={10,13}。
考查节点10。最开始时10和12进行比较,发现10应该往12的左边找,于是节点10被找到,节点10可以加入整个拓扑结构,同时节点10的孩子节点4和14加入考查队列,考查队列为{13,4,14}。
考查节点13。13和12进行比较,应该向右,于是节点13被找到,它可以加入整个拓扑结构,同时它的两个孩子节点20和16加入考查队列,4,14,20,16}。考查节点4。4和12比较,应该向左,4和10比较,继续向左,节点4被找到,可以加入整个拓扑结构。同时它的孩子节点2和5加入考查队列,为{14,20,16,2,5}。
考查节点14。14和12比较,应该向右,接下来的查找过程会一直在12的右子树上,依然会找下去,但是节点14不可能被找到。所以它不能加入整个拓扑结构,它的孩子节点也都不能,此时考查队列为(20,16,2,5}。
考查节点20。20和12比较,应该向右,20和13比较,应该向右,节点20同样再也不会被发现了,所以它不能加入整个拓扑结构,此时考查队列为{16,2,5}。
按照如上方法,最后这三个节点(16,2,5)都可以加入拓扑结构,所以我们找到了必须以12为头,且整个拓扑结构是符合二叉树条件的最大结构,这个结构的节点数为7。也就是说,我们根据一个节点的值,根据这个值的大小,从h开始,每次向左或者向右移动,如果最后能移动到原来的节点上,说明该节点可以作为以h为头的拓扑的一部分。
解决了以节点h为头的树中,在拓扑结构也必须以h为头的情况下,怎么找到符合搜索二叉树条件的最大结构?接下来只要遍历所有的二叉树节点,并在以每个节点为头的子树中都求一遍其中的最大拓扑结构,其中最大的那个就是我们想找的结构,它的大小就是我们的返回值。
1 ///////////////solve01//////////// 2 bool isBSTNode(Node* h, Node* n)//h为根节点,n为判断节点 3 { 4 if (h == nullptr) 5 return false; 6 if (h == n) 7 return true; 8 return isBSTNode(h->val > n->val ? h->l : h->r, n);//进行SBT树判断 9 } 10 int maxTopo(Node* h, Node* n) 11 { 12 if (h != nullptr && n != nullptr && isBSTNode(h, n)) 13 return maxTopo(h, n->l) + maxTopo(h, n->r) + 1;//树的大小 14 return 0; 15 } 16 int bstTopoSize1(Node* root) 17 { 18 if (root == nullptr) 19 return 0; 20 int maxN = maxTopo(root, root);//计算拓扑图节点数的大小 21 maxN = max(maxN, bstTopoSize1(root->l)); 22 maxN = max(maxN, bstTopoSize1(root->r)); 23 }
对于方法一的时间复杂度分析,我们把所有的子树(N个)都找了一次最大拓扑,每找一次所考查的节点数都可能是O(N)个节点,所以方法一的时间复杂度为O(N2)。
方法二:二叉树的节点数为N、时间复杂度最好为O(N)、最差为O(NlogN)的方法。
先来说明一个对方法二来讲非常重要的概念一—拓扑贡献记录。还是举例说明,请注意题目中以节点10为头的子树,这棵子树本身就是一棵搜索二叉树,那么整棵子树都可以作为以节点10为头的符合搜索二叉树条件的拓扑结构。如果对这个拓扑结构建立贡献记录,是如图3-20所示的样子。
在图3-20中,每个节点的旁边都有被括号括起来的两个值,我们把它称为节点对当前头节点的拓扑贡献记录。第一个值代表节点的左子树可以为当前头节点的拓扑贡献几个节点,第二个值代表节点的右子树可以为当前头节点的拓扑贡献几个节点。比如4(1,1),括号中的第一个1代表节点4的左子树可以为节点10为头的拓扑结构贡献1个节点,第二个1代表节点4的右子树可以为节点10为头的拓扑结构贡献1个节点。同样,我们也可以建立以节点13为头的记录,如图3-21所示。
整个方法二的核心就是如果分别得到了h左右两个孩子为头的拓扑贡献记录,可以快速得到以h为头的拓扑贡献记录。比如图3-20中每一个节点的记录都是节点对以节点10为头的拓扑结构的贡献记录,图3-21中每一个节点的记录都是节点对以节点13为头的拓扑结构的贡献记录,同时节点10和节点13分别是节点12的左孩子和右孩子。那么我们可以快速得到以节点12为头的拓扑贡献记录。在图3-20和图3-21中的所有节点的记录还没有变成节点12为头的拓扑贡献记录之前,是图3-22所示的样子。
如图3-22所示,在没有变更之前,节点12左子树上所有节点的记录和原来一样,都是对节点10负责的;节点12右子树上所有节点的记录也和原来一样,都是对节点13负责的。接下来我们详细展示一下,所有节点的记录如何变更为都对节点12负责,也就是所有节点的记录都变成以节点12为头的拓扑贡献记录。
先来看节点12的左子树,只需依次考查左子树右边界上的节点即可。先考查节点10,因为节点10的值比节点12的值小,所以节点10的左子树原来能给节点10贡献多少个节点,当前就一定都能贡献给节点12,所以节点10记录的第一个值不用改变,同时节点10左子树上所有节点的记录都不用改变。接下来考查节点14,此时节点14的值比节点10要大,说明以节点14为头的整棵子树都不能成为以节点12为头的拓扑结构的左边部分,那么删掉节点14的记录,让它不作为节点12为头的拓扑结构即可,同时只要删掉节点14一条记录,就可以断开节点11和节点15的记录,让节点14的整棵子树都不成为节点12的拓扑结构。后续的右边界节点也无须考查了。进行到节点14这一步,一共删掉的节点数可以直接通过节点14的记录得到,记录为14(1,1),说明节点14的左子树1个,节点14的右子树1个,再加上节点14本身,一共有3个节点。接下来的过程是从右边界的当前节点重回节点12的过程,先回到节点10,此时节点10记录的第二个值应该被修改,因为节点10的右子树上被删掉了3个节点,所以记录由10(3,3)修改为10(3,0),根据这个修改后的记录,节点12记录的第一个值也可以确定了,节点12的左子树可以贡献4个节点,其中3个来自节点10的左子树,还有1个是节点10本身,此时记录变为图3-23所示的样子。
1 /////////////////solve02///////////// 2 struct Record 3 { 4 int l, r; 5 Record(int a = 0, int b = 0) :l(a), r(b) {} 6 }; 7 int modifyMap(Node* n, int v, hash_map<Node*, Record>m, bool s) 8 { 9 if (n == nullptr || m.find(n) == m.end()) 10 return 0; 11 Record r = m[n]; 12 if ((s&&n->val > v) || ((!s) && n->val < v)) 13 { 14 m.erase(n); 15 return r.l + r.r + 1; 16 } 17 else 18 { 19 int minus = modifyMap(s ? n->r : n->l, v, m, s); 20 if (s) 21 r.r = r.r - minus; 22 else 23 r.l = r.l - minus; 24 m[n] = r; 25 return minus; 26 } 27 } 28 int posOrder(Node* root, hash_map<Node*, Record>map) 29 { 30 if (root == nullptr) 31 return 0; 32 int ls = posOrder(root->l, map); 33 int rs = posOrder(root->r, map); 34 modifyMap(root->l, root->val, map, true); 35 modifyMap(root->r, root->val, map, false); 36 int lbst = map.find(root->l) == map.end() ? 0 : map[root->l].l + map[root->l].r + 1; 37 int rbst = map.find(root->r) == map.end() ? 0 : map[root->r].l + map[root->r].r + 1; 38 map[root] = Record{ lbst,rbst }; 39 return max(lbst + rbst + 1, max(ls, rs)); 40 } 41 int bstTopoSize2(Node* root) 42 { 43 hash_map<Node*, Record>map; 44 return posOrder(root, map); 45 }
原文地址:https://www.cnblogs.com/zzw1024/p/11485493.html