DP/四边形不等式

dp[i][j]为将第 i 个点开始的 j 个点合并的最小代价。

易知有 dp[i][j]=min{dp[i][j] , dp[i][k-i+1]+dp[k+1][j-(k-i+1)]+w(i,k,j)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(这个地方一开始写错了……)

即，将一棵树从k处断开成(i,k)和(k+1,i+j-1)两棵树，再加上将两棵树连起来的两条树枝的长度w(i,k,j)

其中，$ w(i,k,j)=x[k+1]-x[i]+y[k]-y[i+j-1] $

那么根据四边形不等式易知 $s[i][j-1] \leq k \leq s[i+1][j-1] $

　　如果觉得上面那种不好懂，那我们来看个好懂的：

dp[i][j]表示将第 i 个点到第 j 个点合并的最小代价。

易知有 dp[i][j]=min{ dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w(i,k,j) }

即，将一棵树从k处断开成(i,k)和(k+1,j) 两棵树，再加上将两棵树连起来的两条树枝的长度w(i,k,j)

w(i,k,j)的定义与上同

那么根据四边形不等式易知 $s[i][j-1] \leq k \leq s[i+1][j] $

　　其实，两种表示方法是一样的，递推时都按照区间长度为阶段进行递推（想一想，第二种中 (i,j-1) 和 (i+1,j) 的长度是不是 都是(i,j)的长度-1？）

　　只是第二种写法的方程看上去好看，也好写……sigh那我写第一种干嘛T_T算了不改了

　　反正基本就是石子合并的原题啦~除了w函数的定义不同……

 1 //HDOJ 3516
 2 #include<cmath>
 3 #include<vector>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 #include<cstdlib>
 7 #include<iostream>
 8 #include<algorithm>
 9 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
10 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
11 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
12 #define pb push_back
13 #define CC(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
14 using namespace std;
15 int getint(){
16     int v=0,sign=1; char ch=getchar();
17     while(!isdigit(ch)) {if(ch==‘-‘) sign=-1; ch=getchar();}
18     while(isdigit(ch))  {v=v*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
19     return v*sign;
20 }
21 const int N=1010,INF=~0u>>2;
22 const double eps=1e-8;
23 /*******************template********************/
24 //#define debug
25 int x[N],y[N],dp[N][N],s[N][N];
26 int main(){
27 #ifndef ONLINE_JUDGE
28     freopen("input.txt","r",stdin);
29 //    freopen("output.txt","w",stdout);
30 #endif
31     int n;
32     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
33         F(i,1,n) x[i]=getint(),y[i]=getint();
34         F(i,1,n){
35             dp[i][1]=0;
36             s[i][1]=i;
37         }
38         F(i,1,n-1){
39             dp[i][2]=x[i+1]-x[i]+y[i]-y[i+1];
40             s[i][2]=i;
41         }
42         #ifdef debug
43         F(i,1,n-1) printf("%d ",dp[i][2]);
44         printf("\n");
45         #endif
46         F(j,3,n)
47             F(i,1,n-j+1){
48                 dp[i][j]=INF;
49                 F(k,s[i][j-1],s[i+1][j-1]){
50                     int tmp=y[k]-y[i+j-1]+x[k+1]-x[i]+dp[i][k-i+1]+dp[k+1][j-(k-i+1)];
51                     #ifdef debug
52                     printf("i=%d k=%d j=%d\n",i,k,j);
53                     printf("dp[i][k-i+1]=%d dp[k+1][j-k]=%d\n",dp[i][k-i+1],dp[k+1][j-k]);
54                     #endif
55                     if (tmp<dp[i][j]){
56                         s[i][j]=k;
57                         dp[i][j]=tmp;
58                     }
59                 }
60             }
61         #ifdef debug
62         F(j,1,n){
63             F(i,1,n) printf("%d ",dp[i][j]);
64             printf("\n");
65         }
66         F(j,1,n){
67             F(i,1,n) printf("%d ",s[i][j]);
68             printf("\n");
69         }
70         #endif
71         printf("%d\n",dp[1][n]);
72     }
73     return 0;
74 }

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