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$\bf证明$  由于$f_n$几乎处处收敛于$f$，且$\displaystyle|{f_n}|\mathop { \le}
\limits_{a.e.} F$，则令$n \to \infty $，有$\displaystyle|{f}|\mathop { \le}
\limits_{a.e.} F$，从而由$F$可积得到$f$是可积的

$(1)$首先考虑$m\left( E \right) < \infty $的情况

由于$F$可积，则由积分的全连续性知，对任给的$\varepsilon  > 0$，存在$\delta  >
0$，使得对任意可测集$e \subset E$满足$m\left( e \right) < \delta $时，有

∫eF(x)dx <ε4

又由于$f_n$几乎处处收敛于$f$，则由$\bf{Egoroff定理}$知，对上述的$\delta  >
0$，存在可测集${E_\delta } \subset E$，使得

m(E?Eδ)<δ

且$f_n$在${E_\delta }$上一致收敛于$f$，即对任给的$\varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n \ge
N$时，对任意$x \in {E_\delta }$，有

|fn(x)?f(x)|<ε2m(E)

从而可知

∣∣∣∫Efn(x)dx?∫Ef(x)dx∣∣∣≤∫E|fn(x)?f(x)|dx=∫E?Eδ|fn(x)?f(x)|dx+∫Eδ|fn(x)?f(x)|dx<∫E?Eδ2F(x)dx+ε2m(E)?m(E)<ε2+ε2=ε 

$(2)$其次考虑一般的$E$的情况

设$\left\{ {{E_n}} \right\}$是$E$的测度有限的单调覆盖，则由$F$可积的定义知

limn→∞∫En[F]n(x)dx =∫EF(x)dx

即对任给的$\varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n \ge N$时，有

0≤∫EF(x)dx ?∫En[F]n(x)dx <ε4

于是当$n \ge N$时，我们有

∣∣∣∫E?En[fn(x)?f(x)]dx∣∣∣≤∫E?En2F(x)dx=2(∫EF(x)dx?∫EnF(x)dx)≤2(∫EF(x)dx?∫En[F]n(x)dx)<ε2

又对于测度有限的${E_n}$，由$(1)$可知，当$n \ge N$时，有

∣∣∣∫En[fn(x)?f(x)]dx∣∣∣<ε2

所以对任给的$\varepsilon  > 0$，存在$N$，使得当$n \ge N$时，有

∣∣∣∫E[fn(x)?f(x)]dx∣∣∣≤∣∣∣∫E?En[fn(x)?f(x)]dx∣∣∣+∣∣∣∫En[fn(x)?f(x)]dx∣∣∣<ε2+ε2=ε

$\bf注1：$$\bf(引理)$设$f$是$E$上的可积函数，$g$是$E$上的可测函数，若$\left| g \right| \le
f$，则$g$也是可积的

方法一

$\bf注2：$$\bf(积分的全连续性)$设$f$是$E$上的可积函数，则对任给的$\varepsilon  >
0$，存在$\delta  > 0$，使得对任意可测集$e \subset E$满足$m\left( e \right) < \delta
$时，有\[\int_e {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  < \frac{\varepsilon
}{4}\]

方法一

$\bf注3：$

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