第九章 解决图的编程问题

第九章      解决图的编程问题

图的定义：

图是由一系列定点（结点）和描述定点之间的关系边（弧）组成。图是数据元素的集合，这些数据元素被相互连接以形成网络。其形式化定义为：

G=（V，E）

V={（V_i|V_i∈某个数据元素集合）}

E={（V_i，V_j）|V_i+V_j∈V^P(V_i,V_j)}

其中，G表示图；V是顶点集合；E是边或弧的集合。在集合E中，P（V_i，V_j）表示顶点V_i和顶点V_j之间有边或弧相连

相关术语

顶点集：图中具有相同特性的数据元素的集合成为顶点集

边（弧）：边是一对顶点间的路径，通常带箭头的边称为弧

弧头：每条箭头线的头顶点表示构成弧的有序对中的后一个顶点，称为弧头或终点

弧尾：每条箭头线的尾顶点表示成弧的有序对中的前一个顶点，称为弧尾或始点

度：在无向图中的顶点的度是指与那个顶点相连的边的数量

入度：顶点的入度是指向那个顶点的边的数量

出度：顶点的出度是由那个顶点出发的边的数量

权：有些图的边（弧）附带一些数据信息，这些数据信息称为边（或弧）的权

图的分类

有向图，无向图，有向完全图，无向完全图，稠密图，稀疏图

邻接矩阵

一种通用的图的存储结构，是由两个数组来表示图，一个数组是一维数组，存储图中的顶点信息，一个数组是二维数组，即矩阵，存储顶点之间相邻的信息，也就是边（弧）的信息

邻接表

邻接表的存储方法是一种顺序存储与链式存储相结合的存储方法，顺序存储部分用来保存图中顶点信息，链式存储部分用来保存图中边（或弧）的信息。具体的做法是：对于图中的顶点，使用一个一维数组，其中每个数组元素包含两个域，其结构为：

其中，

顶点域（data）：存放与顶点有关的信息

头指针域(firstadj)：存放与该结点相邻接的所有顶点组成的单链表的头指针。

邻接单链表中每个结点表示依附于该顶点的一条边，称为边结点，边结点结构为：

其中，

邻接点域（adjvex）：指示与顶点邻接点在图中的位置，对应着一维数组中的序号，对于有向图，存放的是该边结点所表示的弧的弧头顶点在一维数组中的序号

数据域（info）：存储边或弧相关的信息，如权值等

链域（nextadj）：指向依附于该顶点的下一个边结点的指针

图的遍历

1. 深度优先搜索算法：

从图的某一顶点出发，访问x，然后遍历任何一个与x相邻的违背访问的顶点y，再遍历任何一个与y相邻的未被访问的顶点z……如此下去，直到到达一个所有邻接点都被访问的顶点为止。然后依次退回到尚有邻接点未被访问过的顶点，重复上述过程，直到图中的全部顶点都被访问过为止。

深度优先搜索背后基于堆栈。

深度优先搜索，对下图所示的示例：

1）  将起点V1压入栈

2）  将顶点元素V1弹出栈，访问它，将与V1相邻的未被访问的所有顶点元素V4和V2压入栈

3）  从栈中弹出顶上的元素V2，访问它。将与V2相邻的未被访问所有顶点元素V6和V3压入栈

4）  从栈中弹出顶层元素V2，访问它。将与V3相邻的所有未被访问的元素V6压入栈

5）  从栈中弹出顶层元素V5，访问它。在栈中压入所有它的未访问的临接顶点，点V5没有任何未被访问的邻接点，因此没有顶点被入栈中

6）  从栈中弹出顶层元素V6访问它。在栈中压入所有它的未访问的邻接点，顶点V6没有任何被访问的邻接点，因此没有顶点被入栈中

7）  从栈中弹出顶层元素V4，访问它。在栈中压入所有它的未被访问的邻接顶点。顶点V4没有任何未被访问的邻接顶点，因此没有顶点被入栈中，在V4弹出后，栈中的内容是空的，因此，遍历完成

1. 广度优先搜索

图的广度优先搜索是从图的某个顶点x出发，访问x。然后访问与x相邻接的所有未被访问的顶点x1、x2……xn相邻的未被访问过的所有顶点。以此类推，直至图中的每个顶点都被访问。

对示例进行广度优先搜索如下：

1）  从第一个顶点V1开始遍历。在访问了顶点V1之后，访问与顶点V1邻接的所有顶点。与V1邻接的顶点有V2和V4.可以以任何顺序访问顶点V2和V4，假设先访问顶点V2，再访问顶点V4

2）  先遍历与V2邻接的所有未被访问的顶点，与V2邻接的未被访问的顶点是V3和V6，先访问V3再访问V6；然后访问与V4邻接的顶点，与V4邻接的未被访问的顶点是V5

3）  依次遍历与顶点V3、V6和V5邻接的未被访问的顶点，没有与V3、V6和V5相邻接的未被访问的顶点所有的顶点都被遍历了

图的最短路径（Dijkstra算法）

基本思想：设置两个顶点集合T和S，集合S中存放已经找到最短路径的顶点，集合T中存放当前还未找到最短路径的顶点。初始状态时，集合S中只包含源点v0，然后不断从集合T中选取到源点v0路径最短的顶点w加入集合S，集合S中每加入一个新的结点w，都要修改顶点v0到集合T中剩余顶点的最短路径长度值，集合T中各顶点新的最短路径长度值为原来最短路径长度值与顶点w的最短路径长度加上w到该顶点的路径长度值中的较小值。此过程不断重复，直到集合T的顶点全部加入到集合S中为止。

下面用下图给出Dijstra算法的具体实现

采用邻接矩阵作为存储结构:

Vij  顶点i和j之间的权值

matrix[i,j]= 0   i=j顶点i和j是同一个顶点

∞  顶点i和j之间没有边

设置一个一维数组final来标记已找到最短路径的顶点,并规定:

除了final数组外,还需要另一个数组distance,它用来存储从A到其他城市的距离。距离可以使直接的也可以间接的

如果从城市A出发，对于上图，数组distance和final将被初始化为：

distance={0，90，∞，150，∞，180}

final={1,0,0,0,0,0}

下面详细描述Dijkstra算法来确定从城市A到其他城市的最短距离。步骤如下：

1.选择数组distance中具有最短路径的顶点v，使得：

distance[v]=min{distance(w)}(s[w]=0)

然后将v加入集合final中，即令final[w]=1

在distance数组中具有最小距离的顶点A（距离是0）。但该结点已经在final数组中标记为1，因此，选择对应于下一个最小距离的顶点，也就是顶点B，距离是90，并将其对应的final值设为1，如图1所示：

2.对于所有final[i]=0的顶点wi，判断distance[i]是否小于distance[v]+matrix[v，i]，如果不是，则使得：

distance[i]= distance(i)}+matrix[v,i]

这里，v=1，并且distance[1]=90,现在考虑所有不在final中的顶点

• w=2：从A途径B到C的距离是：90+60=150，它小于已经记录的距离distance[2](∞)，因此distance[2]改为150
• w=3:从A途径B到D距离的距离是：90+50=140，它小于已经记录的距离150，因此distance[3]改为140
• w=4：从A途径B到到E的距离是：90+∞=∞，distance[4]保持不变
• w=5：从A途径B到F的距离是：90+∞=∞，它大于已经记录的距离180，distance[5]保持不变

如图2所示

1. 选择数组distance中具有最短路径的顶点v，使得：

distance[v]=min{distance(w)}(s[w]=0)

然后将v加入到集合final中，即令final[w]=1

在distance数组中没有在final数组中标记为1的具有最小距离的顶点是D距离是140，并将其对应的final设为1，如图3所示

4. 对于所有final[i]=0的顶点wi，判断distance[i]是否小于distance[v]+matrix[v，i]，如果不是，则使得：

distance[i]= distance(i)}+matrix[v,i]

这里，v=3，并且distance[3]=140,现在考虑所有不在final中的顶点

• w=2：从A途径D到C的距离是：90+∞=∞，因此distance[2]不变
• w=4：从A途径D到到E的距离是：140+110=250，它小于已经记录的距离∞因此distance[4]改为250
• w=5：从A途径D到F的距离是：90+280=420，它大于已经记录的距离180，distance[5]保持不变

如图4所示

5 选择数组distance中具有最短路径的顶点v，使得：

distance[v]=min{distance(w)}(s[w]=0)

然后将v加入到集合final中，即令final[w]=1

在distance数组中没有在final数组中标记为1的具有最小距离的顶点是C距离是150，并将其对应的final设为1，如图5所示

6. 对于所有final[i]=0的顶点wi，判断distance[i]是否小于distance[v]+matrix[v，i]，如果不是，则使得：

distance[i]= distance(i)}+matrix[v,i]

这里，v=2，并且distance[3]=140,现在考虑所有不在final中的顶点

• w=4：从A途径C到到E的距离是：150+230=380，它大于已经记录的距离250，distance[4]保持不变
• w=5：从A途径C到F的距离是：150+80=230，它大于已经记录的距离180，distance[5]保持不变

如图6所示

7. 选择数组distance中具有最短路径的顶点v，使得：

distance[v]=min{distance(w)}(s[w]=0)

然后将v加入到集合final中，即令final[w]=1

在distance数组中没有在final数组中标记为1的具有最小距离的顶点是F 距离是180，并将其对应的final设为1，如图7所示

8. 对于所有final[i]=0的顶点wi，判断distance[i]是否小于distance[v]+matrix[v，i]，如果不是，则使得：

distance[i]= distance(i)}+matrix[v,i]

这里，v=5，并且distance[5]=180,现在考虑所有不在final中的顶点

• w=4：从A途径F到到E的距离是：180+30=210，小于已经记录的距离250因此distance[4]改为210

如图8所示

9. 选择数组distance中具有最短路径的顶点v，使得：

distance[v]=min{distance(w)}(s[w]=0)

然后将v加入到集合final中，即令final[w]=1

在distance数组中没有在final数组中标记为1的具有最小距离的顶点是E距离是210，并将其对应的final设为1

现在所有顶点都在final数组中被标记为1.这样distance数组存放的就是从源A到其他顶点的最短路径，如图9所示