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Mathmatic 函数表
一、运算符及特殊符号
Line1; 执行Line，不显示结果
Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果
?name 关于系统变量name的信息
??name 关于系统变量name的全部信息
!command 执行Dos命令
n! N的阶乘
!!filename 显示文件内容
<
Expr>> filename 打开文件写
Expr>>>filename 打开文件从文件末写
() 结合率
[] 函数
{} 一个表
<*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数
(*Note*) 程序的注释
#n 第n个参数
## 所有参数
rule& 把rule作用于后面的式子
% 前一次的输出
%% 倒数第二次的输出
%n 第n个输出
二、系统常数
Pi 3.1415....的无限精度数值
E 2.17828...的无限精度数值
Catalan 0.915966..卡塔兰常数
EulerGamma 0.5772....高斯常数
GoldenRatio 1.61803...黄金分割数
Degree Pi/180角度弧度换算
I 复数单位
Infinity 无穷大
-Infinity 负无穷大
ComplexInfinity 复无穷大
Indeterminate 不定式
三、代数计算
Expand[expr] 展开表达式
Expand[expr] 展开表达式
Factor[expr] 展开表达式
Simplify[expr] 化简表达式
FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简
PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式
ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开
FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数
Collect[expr, x] 合并同次项
Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项
Together[expr] 通分
Apart[expr] 部分分式展开
Apart[expr, var] 对var的部分分式展开
Cancel[expr] 约分
ExpandAll[expr] 展开表达式
ExpandAll[expr, patt] 展开表达式
FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子
FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子
FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子
Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数
Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数
Exponent[expr, form] 表达式expr中form的最高指数
Numerator[expr] 表达式expr的分子
Denominator[expr] 表达式expr的分母
ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分
ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分
TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数
TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子
TrigFactorList[expr] 给出表达式中的三角函数因子的表
TrigReduce[expr] 对表达式中的三角函数化简
TrigToExp[expr] 三角到指数的转化
ExpToTrig[expr] 指数到三角的转化
RootReduce[expr]
ToRadicals[expr]
四、解方程
Solve[eqns, vars] 从方程组eqns中解出vars
Solve[eqns, vars, elims] 从方程组eqns中削去变量elims,解出vars
DSolve[eqn, y, x] 解微分方程，其中y是x的函数
DSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2...},x]解微分方程组，其中yi是x的函数
DSolve[eqn, y, {x1,x2...}] 解偏微分方程
Eliminate[eqns, vars] 把方程组eqns中变量vars约去
SolveAlways[eqns, vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件
Reduce[eqns, vars] 化简并给出所有可能解的条件
LogicalExpand[expr] 用&&和||将逻辑表达式展开
InverseFunction[f] 求函数f的逆函数
Root[f, k] 求多项式函数的第k个根
Roots[lhs==rhs, var] 得到多项式方程的所有根
五、微积分函数
D[f, x] 求f[x]的微分
D[f, {x, n}] 求f[x]的n阶微分
D[f,x1,x2..] 求f[x]对x1,x2...偏微分
Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dx
Dt[f] 求f[x]的全微分df
Dt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^n
Dt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分
Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分
Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分
Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分
Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限
Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数
Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开
Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开，再对x
Normal[expr] 化简并给出最常见的表达式
SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数
SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}]
‘或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数
InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数
ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合
SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数
? O[x]^n n阶小量x^n
O[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^n
八、数值函数
N[expr] 表达式的机器精度近似值
N[expr, n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数
NSolve[lhs==rhs, var] 求方程数值解
NSolve[eqn, var, n] 求方程数值解，结果精度到n位
NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]微分方程数值解
NDSolve[eqns, {y1,y2,...}, {x, xmin, xmax}]
微分方程组数值解
FindRoot[lhs==rhs, {x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解
FindRoot[lhs==rhs, {x, xstart, xmin, xmax}]
NSum[f, {i,imin,imax,di}] 数值求和，di为步长
NSum[f, {i,imin,imax,di}, {j,..},..] 多维函数求和
NProduct[f, {i, imin, imax, di}]函数求积
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] 函数数值积分
优化函数：
FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值
FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值
FindMinimum[f, {x, xstart, xmin, xmax}]
ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,..}]
inequ为线性不等式组，f为x,y..之线性函数，得到最小值及此时的x,y..取值
ConstrainedMax[f, {inequ}, {x, y,..}]同上
LinearProgramming[c,m,b] 解线性组合c.x在m.x>=b&&x>=0约束下的
最小值，x,b,c为向量,m为矩阵
LatticeReduce[{v1,v2...}] 向量组vi的极小无关组
数据处理：
Fit[data,funs,vars]用指定函数组对数据进行最小二乘拟和
data可以为{{x1,y1,..f1},{x2,y2,..f2}..}多维的情况
emp: Fit[{10.22,12,3.2,9.9}, {1, x, x^2,Sin[x]}, x]
Interpolation[data]对数据进行差值,
data同上，另外还可以为{{x1,{f1,df11,df12}},{x2,{f2,.}..}指定各阶导数
InterpolationOrder默认为3次，可修改
ListInterpolation[array]对离散数据插值，array可为n维
ListInterpolation[array,{{xmin,xmax},{ymin,ymax},..}]
FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},..]
以对应expr[xi,yi]的为数据进行插值
Fourier[list] 对复数数据进行付氏变换
InverseFourier[list] 对复数数据进行付氏逆变换
Min[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值
Max[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最大值
Select[list, crit] 将表中使得crit为True的元素选择出来
Count[list, pattern] 将表中匹配模式pattern的元素的个数
Sort[list] 将表中元素按升序排列
Sort[list,p] 将表中元素按p[e1,e2]为True的顺序比较list
的任两个元素e1,e2,实际上Sort[list]中默认p=Greater
集合论：
Union[list1,list2..] 表listi的并集并排序
Intersection[list1,list2..] 表listi的交集并排序
Complement[listall,list1,list2...]从全集listall中对listi的差集
九、虚数函数
Re[expr] 复数表达式的实部
Im[expr] 复数表达式的虚部
Abs[expr] 复数表达式的模
Arg[expr] 复数表达式的辐角
Conjugate[expr] 复数表达式的共轭
十、数的头及模式及其他操作
Integer _Integer 整数
Real _Real 实数
Complex _Complex 复数
Rational_Rational 有理数
(*注：模式用在函数参数传递中，如MyFun[Para1_Integer,Para2_Real]
规定传入参数的类型，另外也可用来判断If[Head[a]==Real,...]*)
IntegerDigits[n,b,len] 数字n以b近制的前len个码元
RealDigits[x,b,len] 类上
FromDigits[list] IntegerDigits的反函数
Rationalize[x,dx] 把实数x有理化成有理数，误差小于dx
Chop[expr, delta] 将expr中小于delta的部分去掉,dx默认为10^-10
Accuracy[x] 给出x小数部分位数,对于Pi,E等为无限大
Precision[x] 给出x有效数字位数,对于Pi,E等为无限大
SetAccuracy[expr, n] 设置expr显示时的小数部分位数
SetPrecision[expr, n] 设置expr显示时的有效数字位数
十一、区间函数
Interval[{min, max}] 区间[min, max](* Solve[3 x+2==Interval[{-2,5
}],x
*)
IntervalMemberQ[interval, x] x在区间内吗？
IntervalMemberQ[interval1,interval2] 区间2在区间1内吗？
IntervalUnion[intv1,intv2...] 区间的并
IntervalIntersection[intv1,intv2...] 区间的交
十二、矩阵操作
a.b.c 或 Dot[a, b, c] 矩阵、向量、张量的点积
Inverse[m] 矩阵的逆
Transpose[list] 矩阵的转置
Transpose[list,{n1,n2..}]将矩阵list 第k行与第nk列交换
Det[m] 矩阵的行列式
Eigenvalues[m] 特征值
Eigenvectors[m] 特征向量
Eigensystem[m] 特征系统，返回{eigvalues,eigvectors}
LinearSolve[m, b] 解线性方程组m.x==b
NullSpace[m] 矩阵m的零空间，即m.NullSpace[m]==零向量
RowReduce[m] m化简为阶梯矩阵
Minors[m, k] m的所有k*k阶子矩阵的行列式的值(伴随阵，好像是
)
MatrixPower[mat, n] 阵mat自乘n次
Outer[f,list1,list2..] listi中各个元之间相互组合，并作为f的参数的到
的矩
? Outer[Times,list1,list2]给出矩阵的外积
SingularValues[m] m的奇异值，结果为{u,w,v},
m=Conjugate[Transpose[u]].DiagonalMatrix[w].v
PseudoInverse[m] m的广义逆
QRDecomposition[m] QR分解
SchurDecomposition[m] Schur分解
LUDecomposition[m] LU分解
十四、绘图函数
二维作图
Plot[f,{x,xmin,xmax}] 一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数
曲
? Plot[{f1,f2..},{x,xmin,xmax}] 在一张图上画几条曲线
ListPlot[{y1,y2,..}] 绘出由离散点对(n,yn)组成的图
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},..}] 绘出由离散点对(xn,yn)组成的图
ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] 由参数方程在参数变化范围内的曲
线
ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,tmin,tmax}]
在一张图上画多条参数曲线
选项：
PlotRange->{0,1} 作图显示的值域范围
AspectRatio->1/GoldenRatio生成图形的纵横比
PlotLabel ->label 标题文字
Axes ->{False,True} 分别制定是否画x,y轴
AxesLabel->{xlabel,ylabel}x,y轴上的说明文字
Ticks->None,Automatic,fun用什么方式画轴的刻度
AxesOrigin ->{x,y} 坐标轴原点位置
AxesStyle->{{xstyle}, {ystyle}}设置轴线的线性颜色等属性
Frame ->True,False 是否画边框
FrameLabel ->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel}
边框四边上的文字
FrameTicks同Ticks 边框上是否画刻度
GridLines 同Ticks 图上是否画栅格线
FrameStyle ->{{xmstyle},{ymstyle}设置边框线的线性颜色等属性
ListPlot[data,PlotJoined->True] 把离散点按顺序连线
PlotSytle->{{style1},{style2},..}曲线的线性颜色等属性
PlotPoints->15 曲线取样点，越大越细致
三维作图
Plot3D[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]
二维函数f[x,y]的空间曲面
Plot3D[{f,s}, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]
同上，曲面的染色由s[x,y]值决定
ListPlot3D[array,shades]同上，曲面的染色由shades[数据]值决定
ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}]
二元数方程在参数变化范围内的曲线
ParametricPlot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},...},{t,tmin,tmax}]
多条空间参数曲线
选项：
ViewPoint ->{x,y,z} 三维视点，默认为{1.3,-2.4,2}
Boxed -> True,False 是否画三维长方体边框
BoxRatios->{sx,sy,sz} 三轴比例
BoxStyle 三维长方体边框线性颜色等属性
Lighting ->True 是否染色
LightSources->{s1,s2..} si为某一个光源si={{dx,dy,dz},color}
color为灯色，向dx,dy,dz方向照射
AmbientLight->颜色函数 慢散射光的光源
Mesh->True,False 是否画曲面上与x,y轴平行的截面的截线
MeshStyle 截线线性颜色等属性
MeshRange->{{xmin,xmax}, {ymin,ymax}}网格范围
ClipFill->Automatic,None,color,{bottom,top}
指定图形顶部、底部超界后所画的颜色
Shading ->False,True 是否染色
HiddenSurface->True,False 略去被遮住不显示部分的信息
等高线
ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
二维函数f[x,y]在指定区间上的等高线图
ListContourPlot[array] 根据二维数组array数值画等高线
选项：
Contours->n 画n条等高线
Contours->{z1,z2,..} 在zi处画等高线
ContourShading -> False 是否用深浅染色
ContourLines -> True 是否画等高线
ContourStyle -> {{style1},{style2},..}等高线线性颜色等属性
FrameTicks 同上
密度图
DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图
ListDensityPlot[array] 同上
图形显示
Show[graphics,options] 显示一组图形对象，options为选项设置
Show[g1,g2...] 在一个图上叠加显示一组图形对象
GraphicsArray[{g1,g2,...}]在一个图上分块显示一组图形对象
SelectionAnimate[notebook,t]把选中的notebook中的图画循环放映
选项：(此处选项适用于全部图形函数)
Background->颜色函数 指定绘图的背景颜色
RotateLabel -> True 竖着写文字
TextStyle 此后输出文字的字体，颜色大小等
ColorFunction->Hue等 把其作用于某点的函数值上决定某点的颜色
RenderAll->False 是否对遮挡部分也染色
MaxBend 曲线、曲面最大弯曲度
十四、绘图函数（续）
图元函数
Graphics[prim, options]
prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象
Graphics3D[prim, options]
prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象
SurfaceGraphics[array, shades]表示一个由array和shade决定的曲面对象
ContourGraphics[array]表示一个由array决定的等高线图对象
DensityGraphics[array]表示一个由array决定的密度图对象
以上定义图形对象，可以进行对变量赋值，合并显示等操作，也可以存盘
Point[p] p={x,y}或{x,y,z}，在指定位置画点
Line[{p1,p2,..}]经由pi点连线
Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] 画矩形
Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmax,ymax,zmax}]由对角线指定的长方体
Polygon[{p1,p2,..}] 封闭多边形
Circle[{x,y},r] 画圆
Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴
Circle[{x,y},r,{a1,a2}] 从角度a1～a2的圆弧
Disk[{x, y}, r] 填充的园、 衷病⒃ 弧等参数同上
Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格
Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式
PostScript["string"] 直接用PostScript图元语言写
Scaled[{x,y,..}] 返回点的坐标，且均大于0小于1
颜色函数(指定其后绘图的颜色)
GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数
RGBColor[red, green, blue] RGB颜色，均为0~1间的实数
Hue[h, s, b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数
CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] CMYK颜色
其他函数(指定其后绘图的方式)
Thickness[r] 设置线宽为r
PointSize[d] 设置绘点的大小
Dashing[{r1,r2,..}] 虚线一个单元的间隔长度
ImageSize->{x, y} 显示图形大小(像素为单位)
ImageResolution->r 图形解析度r个dpi
ImageMargins->{{left,right},{bottom,top}}四边的空白
ImageRotated->False 是否旋转90度显示
十五、流程控制
分支
If[condition, t, f] 如果condition为True,执行t段，否则f段
If[condition, t, f, u] 同上，即非True又非False，则执行u段
Which[test1,block1,test2,block2..] 执行第一为True的testi对应的blocki
Switch[expr,form1,block1,form2,block2..]
执行第一个expr所匹配的formi所对应的blocki段
循环
Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次
Do[expr,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},...]多重循环
While[test, body] 循环执行body直到test为False
For[start,test,incr,body]类似于C语言中的for，注意"，"与";"的用法相反
examp: For[i=1;t =x,i^2<10,i++,t =t+i;Print[t]]
异常控制
Throw[value] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理
Throw[value, tag] 同上，
Catch[expr] 计算expr,遇到Throw返回的值则停止
Catch[expr, form] 当Throw[value, tag]中Tag匹配form时停止
其他控制
Return[expr] 从函数返回，返回值为expr
Return[ ] 返回值Null
Break[ ] 结束最近的一重循环
Continue[ ] 停止本次循环，进行下一次循环
Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处
Label[tag] 设置一个断点
Check[expr,failexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值
Check[expr,failexpr,s1::t1,s2::t2,...]当特定信息产生时则返回failexpr
CheckAbort[expr,failexpr]当产生abort信息时放回failexpr
Interrupt[ ] 中断运行
Abort[ ] 中断运行
TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止
MemoryConstrained[expr,b]计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算
交互式控制
Print[expr1,expr2,...] 顺次输出expri的值
examp: Print[ "X=" , X//N , " " ,f[x+1]];
Input[ ] 产生一个输入对话框，返回所输入任意表达式
Input["prompt"] 同上，prompt为对话框的提示
Pause[n] 运行暂停n秒
十六、函数编程
(*函数编程是Mathematica中很有特色也是最灵活的一部分，它充分体现了 *)
(*Mathematica的“一切都是表达式”的特点，如果你想使你的Mathematica程 *)
(*序快于高级语言,建议你把本部分搞通*)
纯函数
Function[body]或body& 一个纯函数，建立了一组对应法则，作用到后面的
表达
Function[x, body] 单自变量纯函数
Function[{x1,x2,...},body]多自变量纯函数
#，#n 纯函数的第一、第n个自变量
## 纯函数的所有自变量的序列
examp: #1^#2& [2,3] 返回第一个参数的第二个参数次方
映射
Map[f,expr]或f/@expr 将f分别作用到expr第一层的每一个元上得到的列表
Map[f,expr,level] 将f分别作用到expr第level层的每一个元上
Apply[f,expr]或[email protected]@expr 将expr的“头”换为f
Apply[f,expr,level] 将expr第level层的“头”换为f
MapAll[f,expr]或f//@expr把f作用到expr的每一层的每一个元上
MapAt[f,expr,n] 把f作用到expr的第n个元上
MapAt[f,expr,{i,j,...}] 把f作用到expr[[{i,j,...}]]元上
MapIndexed[f,expr] 类似MapAll,但都附加其映射元素的位置列表
Scan[f, expr] 按顺序分别将f作用于expr的每一个元
Scan[f,expr,levelspec] 同上，仅作用第level层的元素
复合映射
Nest[f,expr,n] 返回n重复合函数f[f[...f[expr]...]]
NestList[f,expr,n] 返回0重到n重复合函数的列表{expr,f[expr],f[f[
expr
]..}
FixedPoint[f, expr] 将f复合作用于expr直到结果不再改变,即找到其不
定点
FixedPoint[f, expr, n] 最多复合n次，如果不收敛则停止
FixedPointList[f, expr] 返回各次复合的结果列表
FoldList[f,x,{a,b,..}] 返回{x,f[x,a],f[f[x,a],b],..}
Fold[f, x, list] 返回FoldList[f,x,{a,b,..}]的最后一个元
ComposeList[{f1,f2,..},x]返回{x,f1[x],f2[f1[x]],..}的复合函数列表
Distribute[f[x1,x2,..]] f对加法的分配率
Distribute[expr, g] 对g的分配率
Identity[expr] expr的全等变换
Composition[f1,f2,..] 组成复合纯函数f1[f2[..fn[ ]..]
Operate[p,f[x,y]] 返回p[f][x, y]
Through[p[f1,f2][x]] 返回p[f1[x],f2[x]]
Compile[{x1,x2,..},expr]编译一个函数，编译后运行速度可以大大加快
Compile[{{x1,t1},{x2,t2}..},expr] 同上，可以制定函数参数类型
十七、替换规则
lhs->rhs 建立了一个规则，把lhs换为rhs,并求rhs的值
lhs:>rhs 同上，只是不立即求rhs的值，知道使用该规则时才求值
Replace[expr,rules] 把一组规则应用到expr上，只作用一次
expr /. rules 同上
expr //.rules 将规则rules不断作用到expr上，直到无法作用为止
Dispatch[{lhs1->rhs1,lhs2->rhs2,...}]综合各个规则，产生一组优化的规则组