2000年以前，euclid第一个证明了素数有无穷多个，
其后2000年，无数人都给出了很多版本的证明思路
euclid的大概证明思路如下：
证明:
设：素数只有有限个，设为q1,q2,q3....qn;
考虑：p=q1q2q3......qnqn+1.
显然，p不能被q1q2q3......qn整除.
故存在2种情况：1.p为素数，2.p有除q1,q2,q3....qn以外的其他素因子.
所以，无论哪种情况，都说明素数不止有限个.
故假设不成立，所以素数有无穷个.
现在，我们不用euclid的反证法，我们用正面直接证明的方法来证明这个问题
这个证明方法最早是由goldbach提出来的，这个思想是：找出一个各项均大于1的无穷的整数数列{an}，使这个数列的项两两互素，若有1个素数p1整除a1，那么，他不能整除a2，若p2是整除a2的素数，那么，p1和p2是不相同的素数，且p2它不能整除a3，设p3是整除a3的素数，p1,p2,p3互不相同，这样一直做下去，我们就得到一个无穷的素数数列，也就是说：素数的个数是无穷的.
这种思想不需要用到算术的基本定理，而且，判断两个数互素较为简单。此外，这种思想关键是要去找一个各项大于1，且互为素数的无穷数列，因此，具有实用性，goldbach在1891年曾经注意到费尔马数是两两互为素数的性质，证明了素数有无穷多个。
现在，借鉴这种思想，提供一种新的素数的证明方法，如下：
构造数列{an}，如下：
a1=3,a2=5,a3=a1a2-1=14,a4=a1a2a3-1=209.....
此处，数列的通项：an=f(a(n-1)....)
可以证明，这个数列是两两互为素数的.
事实上，设：n>m
若有素数p整除an,am，那么，素数p整除an-am=a1a2...an-1-a1a2...am-1=a1a2...am-1(amam+1...an-1-1)
从而，p整除ai(1<=i<=m-1)之一或amam+1...an-1-1
若p整除ai(1<=i<=m-1)之一，由p整除am及ai(1<=i<=m-1)之一，可得p整除1=a1a2...am-1-am=a1a2...am-1-(a1a...am-1-1)矛盾.
若p整除amam-1...an-1-1，那么，由p整除am，知p整除 amam+1...an-1-(am...an-1-1)=1,也得出矛盾.
所以，数列{an}中的项是两两互为素数的.
因此，素数有无穷多个.