POJ 3352 Road Construction(边双连通分量,桥,tarjan)

题解转自http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6762370   文中部分思路或定义模糊,重写的红色部分为修改过的。

大致题意:

  某个企业想把一个热带天堂岛变成旅游胜地,岛上有N个旅游景点,保证任意2个旅游景点之间有路径连通的(可间接连通)。而为了给游客提供更方便的服务,该企业要求道路部门在某些道路增加一些设施。

  道路部门每次只会选择一条道路施工,在该条道路施工完毕前,其他道路依然可以通行。然而有道路部门正在施工的道路,在施工完毕前是禁止游客通行的。这就导致了在施工期间游客可能无法到达一些景点。

  为了在施工期间所有旅游景点依然能够正常对游客开放,该企业决定搭建一些临时桥梁,使得不管道路部门选在哪条路进行施工,游客都能够到达所有旅游景点。给出当下允许通行的R条道路,问该企业至少再搭建几条临时桥梁,才能使得游客无视道路部门的存在到达所有旅游景点?

  题目所给的图是连通的,且所给的边没有重复的,所以不考虑重边。

   注意:不要把Sample Input 1读入,更不要把它输出!!!!!

首先建立模型:

给定一个连通的无向图G,至少要添加几条边,才能使其变为边-双连通图(因为在修道路是一条边!)。

模型很简单,正在施工的道路我们可以认为那条边被删除了。那么一个图G能够在删除任意一条边后,仍然是连通的,当且仅当图G至少为边双连通的。

PS:不要问我为什么不是3-连通、4-连通...人家题目问“至少添加几条边”好不...

显然,当图G存在桥(割边)的时候,它必定不是双连通的。桥的两个端点必定分别属于图G的两个【边双连通分量】(注意不是点双连通分量),一旦删除了桥,这两个【边双连通分量】必定断开,图G就不连通了。但是如果在两个【边双连通分量】之间再添加一条边,桥就不再是桥了,这两个【边双连通分量】之间也就是边双连通了。

那么如果图G有多个【边双连通分量】呢?至少应该添加多少条边,才能使得任意两个【边双连通分量】之间都是边双连通的(也就是图G是边双连通的)?

这个问题就是本题的问题。要解决这个问题:

1、  首先要找出图G的所有【边双连通分量】。

Tarjan算法用来寻找图G的所有【边双连通分量】是最简单有效的方法,因为Tarjan算法在DFS过程中会对图G所有的结点都生成一个Low值,而由于题目已表明任意两个结点之间不会出现重边,因此Low值相同的两个结点必定在同一个【边双连通分量】中(但是!!low值不同的点并不代表就不在同一个边双连通分量中,因为由于先后访问的顺序的原因,low值可能会不同,这跟并查集的道理是一样的,如果不进行压缩路径,几乎很多人的直接上级都不会是该团队的boss,这点可以模仿并查集的方式将其归到只有两层,查起来就很快了,否则可能超时!!当然你不考虑这点也能AC,水果了那些简单数据,但是下面这2组数据你可能过不了)!

11 14
1 2
1 3
1 4
2 5
6 11
2 6
5 6
5 11
3 7
3 8
7 8
4 9
4 10
9 10

11 14
1 2
1 3
1 4
5 11
2 5
2 6
5 6
6 11
3 7
3 8
7 8
4 9
4 10
9 10

以上两个测试数据的ans都是2。

2、  把每一个【边双连通分量】都看做一个点(即【缩点】)

也有人称【缩点】为【块】,都是一样的。其实缩点不是真的缩点,只要利用Low值对图G的点分类处理,就已经缩点了。

以样例1为例,样例1得到的图G为上左图,

其中Low[4]=Low[9]=Low[10]

Low[3]=Low[7]=Low[8]

Low[2]=Low[5]=Low[6]

Low[1]独自为政....

把Low值相同的点划分为一类,每一类就是一个【边双连通分量】,也就是【缩点】了,不难发现,连接【缩点】之间的边,都是图G的桥,那么我们就得到了上右图以缩点为结点,已桥为树边所构造成的树。

  以上这样以low值判断边连通分量是没有错的!只是要确保low值能区分出该块,当然,你可以用栈,就像求点双连通分量那样(并不是完全一样,那是以割点来区分的,这是以桥来区分的)。

3、  问题再次被转化为“至少在缩点树上增加多少条树边,使得这棵树变为一个边双连通图”。

首先知道一条等式:

若要使得任意一棵树,在增加若干条边后,变成一个双连通图,那么

至少增加的边数 =( 这棵树总度数为1的结点数 + 1 )/ 2

(证明就不证明了,自己画几棵树比划一下就知道了)

那么我们只需求缩点树中总度数为1的结点数(不一定是叶子数,如果树根仅有1个孩子,同样要将其统计进来)有多少就可以了。换而言之,我们只需求出所有缩点的度数,然后判断度数为1的缩点有几个,问题就解决了。

4、  求出所有缩点的度数的方法

两两枚举图G的直接连通的点(如果求出了桥,那么枚举桥也行的,相同于直接枚举树的边),只要这两个点不在同一个【缩点】中,那么它们各自所在的【缩点】的度数都+1。注意由于图G时无向图,这样做会使得所有【缩点】的度数都是真实度数的2倍,必须除2后再判断是否度为1。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <vector>
 5 #include <cstring>
 6 #include <set>
 7 //#include <bits/stdc++.h>
 8 using namespace std;
 9 const int N=1000+5;
10 vector<int> vect[N];
11 int low[N], dfn[N],  cnter;
12 int du[N];
13 int pre[N];//这个与dfn是相反的索引
14 vector<pair<int,int> >  cutt;
15 int find(int x) //寻找x的low值
16 {
17     if(low[x]==dfn[x])  return low[x];
18     return low[x]=find( pre[low[x] ] );
19 }
20
21 void DFS(int x, int far)
22 {
23     low[x]= dfn[x]= ++cnter;
24     pre[cnter]=x;   //标记第cnter个访问的是谁
25     for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
26     {
27         int t=vect[x][i];
28         if(!dfn[t])
29         {
30             DFS(t,x);
31             low[x]=min(low[x],low[t]);
32             if(low[t]>dfn[x])   cutt.push_back(make_pair(x,t));//桥(即树边)
33         }
34         else if(t!=far)    low[x]=min(low[x],dfn[t]);
35     }
36 }
37
38 int cal_bcc(int f)   //计算边双连通分量
39 {
40     cutt.clear();
41     memset(du,0,sizeof(du));
42     memset(low,0,sizeof(low));
43     memset(dfn,0,sizeof(dfn));
44     memset(pre,0,sizeof(pre));
45     cnter=0;
46     DFS(1,0);
47     for(int i=0; i<cutt.size(); i++)
48     {
49         int a=cutt[i].first;
50         int b=cutt[i].second;
51         du[find(a)]++;
52         du[find(b)]++;
53     }
54
55     int ans=0;
56     for(int i=1; i<=f; i++)    if(du[i]==1)    ans++;
57     return ((ans+1)/2);
58 }
59
60 int main()
61 {
62     //freopen("input.txt", "r", stdin);
63     int f, r, a, b, j=0;
64     char s[N];
65     while(cin>>f>>r)
66     {
67         for(int i=1; i<=f; i++) vect[i].clear();
68         while(r--)
69         {
70             scanf("%d%d", &a, &b);
71             vect[a].push_back(b);
72             vect[b].push_back(a);
73         }
74         printf("%d\n",cal_bcc(f));
75     }
76     return 0;
77 }

枚举树边的AC代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <vector>
 5 #include <cstring>
 6 #include <set>
 7 //#include <bits/stdc++.h>
 8 using namespace std;
 9 const int N=1000+5;
10 vector<int> vect[N];
11 int low[N], dfn[N], cnter;
12 int du[N];
13 int pre[N];//与dfn相反的索引
14 int find(int x) //寻找x的low值,顺便压缩路径
15 {
16     if(low[x]==dfn[x])  return low[x];
17     return low[x]=find( pre[low[x] ] );
18 }
19
20 void DFS(int x, int far)
21 {
22     low[x]= dfn[x]= ++cnter;
23     pre[cnter]=x;   //第几个访问的是谁
24     for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
25     {
26         int t=vect[x][i];
27         if(!dfn[t])
28         {
29             DFS(t,x);
30             low[x]=min(low[x],low[t]);
31         }
32         else if(t!=far)    low[x]=min(low[x],dfn[t]);
33     }
34
35 }
36
37 int cal_bcc(int f)   //找割点及双连通分量
38 {
39     cutt.clear();
40     memset(du,0,sizeof(du));
41     memset(low,0,sizeof(low));
42     memset(dfn,0,sizeof(dfn));
43     memset(pre,0,sizeof(pre));
44     cnter=0;
45     DFS(1,0);
46
47     for(int i=1; i<=f; i++)
48         for(int j=0; j<vect[i].size(); j++)
49         {
50             int b=vect[i][j];
51             if(find(i)!=find(b))    du[low[i]]++;
52         }
53
54     int ans=0;
55     for(int i=1; i<=f; i++)    if(du[i]==1)    ans++;
56     return ((ans+1)/2);
57 }
58
59 int main()
60 {
61     freopen("input.txt", "r", stdin);
62     int f, r, a, b, j=0;
63     char s[N];
64     while(cin>>f>>r)
65     {
66         for(int i=1; i<=f; i++) vect[i].clear();
67         while(r--)
68         {
69             scanf("%d%d", &a, &b);
70             vect[a].push_back(b);
71             vect[b].push_back(a);
72         }
73         printf("%d\n",cal_bcc(f));
74     }
75     return 0;
76 }

枚举每条边的AC代码

时间: 2024-10-14 12:28:14

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