「SPOJ5971」 LCMSUM - 数论数学

题目描述

求 \(\sum_{i=1}^nlcm(i,n)\)

\(T\) 组数据
\(1\le T\le 300000\)
\(1\le n\le 1000000\)

链接

bzoj 2226
luogu SP5971

题解

算法1（暴力）

直接暴力枚举 \(i\) ，计算 \(lcm\)
时间复杂度 \(O(Tnlogn)\)

算法2 （数论）

先不管最后一个，就变成了这个：
\[
\sum_{i=1}^{n-1}lcm(i,n)
\]
将 \(lcm\) 转化为 \(gcd\)：
\[
Ans=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}
\]
转化下，其实没有区别：
\[
Ans=\frac12\cdot 2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}
\]
再次转化，倒着求和：
\[
Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}+\sum_{i=n-1}^1\frac{in}{gcd(i,n)})
\]
因为 \(gcd(i,n)=gcd(n-i,i)\)
所以：
\[
Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{in}{gcd(i,n)}+\sum_{i=n-1}^1\frac{in}{gcd(n-i,n)})
\]
然后我们发现分母相同于是合并：
\[
Ans=\frac12\cdot(\sum_{i=1}^{n-1}\frac{n^2}{gcd(i,n)})
\]
考虑枚举 \(gcd\) ,先算上 \(n\) ：
\[
Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot \sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d]
\]
继续：
\[
Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot \sum_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,n)==1]
\]
发现后面的其实就是 \(\phi(\frac {n}d)\) ：
\[
Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}\frac{n}{d}\cdot\phi(\frac{n}d)
\]
然后等价于:
\[
Ans=\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d)
\]
然后把多算的减掉:
\[
Ans=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))-\frac12n
\]
然后把少算的加回去:
\[
Ans=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))-\frac12n+n\=(\frac12n\cdot\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))+\frac12n\=\frac12n\cdot((\sum_{d|n}d\cdot\phi(d))+1)
\]
于是就推完了
预处理时间复杂度是 \(O(nlogn)\) 的
但是有一种 \(O(n)\) 的方法,因为数据比较小,没有研究

#include <cstdio>
typedef int INT;
#define int long long
#define __R register

const int MAXN=1000005;

int q;
int n;
int f[MAXN],p[MAXN],phi[MAXN];
bool vis[MAXN];

template <typename T>
inline void read(T &x){
    int ch,fl=0;
    while (ch=getchar(),ch<48 || 57<ch) fl^=!(ch^45); x=(ch&15);
    while (ch=getchar(),47<ch && ch<58) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch&15);
    if (fl) x=-x;
}

inline void sieve(){
    vis[0]=vis[1]=1; phi[1]=1;
    for (__R int i=2;i<MAXN;++i){
        if (!vis[i]){
            p[++p[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=p[0] && i*p[j]<MAXN;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            } else{
                phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<MAXN;i++)
        for (int j=i;j<MAXN;j+=i)
            f[j]+=i*phi[i];
}

inline int solve(int x){
    return (f[x]+1)*x>>1;
}

INT main(){
    sieve();
    read(q);
    for (__R int x;q;--q){
        read(x);
        printf("%lld\n",solve(x));
    }
    return 0;
}

后记

数论题目真套路

原文地址：https://www.cnblogs.com/xuanyi/p/9490064.html