[算法 树状数组]

要学树状数组的先看懂一幅图

这就是树状数组的存储方式。

那么树状数组的优点是什么呢，允许任意修改，可快速提取出a数组内数字

据图可知

c1=a1，

c2=a1+a2，

c3=a3，

c4=a1+a2+a3+a4，

c5=a5，

c6=a5+a6，

c7=a7，

c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，

c9=a9，

c10=a9+a10，

c11=a11.......

.c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

分析上面的几组式子可知，当 i 为奇数时，ci=ai ；当 i 为偶数时，就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂，例如，6 的因子中有 2 的一次幂，等于 2 ，所以 c6=a5+a6（由六向前数两个数的和），4 的因子中有 2 的两次幂，等于 4 ，所以 c4=a1+a2+a3+a4（由四向前数四个数的和）。

（一）因此得到公式    cn=a(n-a^k+1)+.........+an（其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数）。

那么，如何求 a^k 呢？求法如下：

1 int lowbit(int x)

2 {

3     return x&(-x);

4 }

为啥那？

以68为例，他的二进制是（68）₂=1000100. 那么-68呢？因为计算机里的整数采用补码表示（补码是原码取反加一），因此-68实际上是68按位取反，末尾加一以后的结果。如下表（忽略符号位）：

原码   1 0 0 0 1 0 0

↓

反码   0 1 1 1 0 1 1

↓

补码   0 1 1 1 1 0 0

我们把（68）₂和（-68）₂放在一起看一看：

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

发现他们末尾带的0是一样多的。因此lowbit(x)=x&-x.   （&是转换成二进制之后进行与运算；而&&是直接进行与运算）

（二）由此，我们就可以求出c数组了

1 int sum(int x)
2 {
3     int sum=0;
4     while(x>0)
5     {
6         sum+=c[x];
7         x-=lowbit(x);
8     }
9 }

（三）当数组中的元素有变更时，树状数组就发挥它的优势了，算法如下（修改为给某个节点 i 加上 x ）：

1 void change(int i,int x)
2 {
3     while(i<=n)
4     {
5         c[i]+=x;
6         i+=lowbit(i)
7     }
8 }

嗯。就这样。不算难。大概就是一种可变更的存储方式吧