【poj2773】 Happy 2006

http://poj.org/problem?id=2773 (题目链接)

题意：给出两个数m,k，要求求出从1开始与m互质的第k个数。

Solution

　　数据范围很大，直接模拟显然是不行的，我们需要用到一些奇奇怪怪的方法。

　　考虑是否可以通过某些途径快速得到解，然而并没有头绪。正难则反，能不能通过计算不与m互质的数的个数来得到互质的数的个数呢？答案是可行的，我们可以运用容斥。

　　二分一个答案mid，容斥统计出在区间[1，mid]中是m的质因子的倍数的数的个数ans，然后我们可以用mid-ans得到区间中有多少个与m互质的数，不断二分下去，直到得出答案。

　　容斥统计的经典应用。

代码：

// poj2773
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf (1ll<<62);
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

int n,cnt,p[500],a[200],vis[2010];
LL ans,m,k,mid;

LL gcd(LL a,LL b) {
    return a%b==0 ? b : gcd(b,a%b);
}
void dfs(int x,int y,int z) {
    if (x==n+1) {
        if (y>0) {
            if (y&1) ans+=mid/z;
            else ans-=mid/z;
        }
        return;
    }
    dfs(x+1,y,z);
    LL tmp=a[x]/gcd(z,a[x]);
    if ((double)tmp*z<=mid) dfs(x+1,y+1,z*tmp);
}
int main() {
    for (int i=2;i<=2000;i++) if (!vis[i]) {
            for (int j=i+i;j<=2000;j+=i) vis[j]=1;
            p[++cnt]=i;
        }
    while (scanf("%lld%lld",&m,&k)!=EOF) {
        memset(a,0,sizeof(a));n=0;
        for (int i=1;i<=cnt;i++)
            if (m%p[i]==0) {
                while (m%p[i]==0 && m>1) m/=p[i];
                a[++n]=p[i];
            }
        if (m>1) a[++n]=m;
        sort(a+1,a+1+n);
        LL L=1,R=inf;
        while (L<R) {
            mid=(L+R)>>1;
            ans=0;dfs(1,0,1);
            if (mid-ans>=k) R=mid;
            else L=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",L);
    }
    return 0;
}