一、动态规划的基本思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。
将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。为了达到此目的，我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
二、动态规划的基本要素（特征）
1、最优子结构：
当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
2、重叠子问题：
在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。
三、用动态规划求解问题的主要步骤
1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；
3、以自底向上的方式计算出最优值；
4、根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
说明：（1）步骤 1～3 是动态规划算法的基本步骤；
（2）在只需要求出最优值的情形，步骤 4 可以省略；
（3）若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤 4。
四、动态规划实例
1、矩阵连乘问题
m × n 矩阵 A 与 n × p 矩阵 B 相乘需耗费的时间。我们把 m x n x p 作为两个矩阵相乘所需时间的测量值。
现在假定要计算三个矩阵 A、B 和 C 的乘积，有两种方式计算此乘积。
（1）先用 A 乘以 B 得到矩阵 D，然后 D 乘以 C 得到最终结果，这种乘法的顺序为（AB）C；
（2）先用 B 乘以 C 得到矩阵 E，然后 E 乘以 A 得到最终结果，这种乘法的顺序为 A（BC）。
尽管这两种不同的计算顺序所得的结果相同，但时间消耗会有很大的差距。
实例：
图1.1 A、B 和 C 矩阵
矩阵乘法符合结合律，所以在计算 ABC 矩阵连乘时，有两种方案，即 （AB）C 和 A（BC）。
对于第一方案（AB）C 和，计算：
图1.2 AB 矩阵相乘
其乘法运算次数为：2 × 3 × 2 = 12
图1.3 （AB）C 矩阵连乘
其乘法运算次数为：2 × 2 × 4 = 16
总计算量为：12 + 16 = 28
对第二方案 A（BC），计算：
图1.4 BC 矩阵相乘
其乘法运算次数为：3 × 2 × 4 = 24
图1.5 A、B 和 C 矩阵连乘
其乘法运算次数为：2 × 3 × 4 = 24
总计算量为：24 + 24 = 48
可见，不同方案的乘法运算量可能相差很悬殊。
问题定义：
给定 n 个矩阵 {A1, A2, …, An}，其中 Ai 与 Ai+1 是可乘的，i = 1,2,…,n-1。考察这 n 个矩阵的连乘积 A1A2…An。 由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。
这种计算次序可以用加括号的方式来确定。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积 A 是完全加括号的，则 A 可表示为 2 个完全加括号的矩阵连乘积 B 和 C 的乘积并加括号，即 A = (BC)。设有四个矩阵 A， B， C， D，总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ， (A(B(CD))) ， ((AB)(CD)) ， (((AB)C)D) ， ((A(BC)D))。
a. 找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
将矩阵连乘积 AiAi+1…Aj ，简记为 A[i : j]， 这里 i≤j；考察计算 A[1:n] 的最优计算次序。
设这个计算次序在矩阵 Ak 和 Ak+1 之间将矩阵链断开，1 ≤ k < n，则其相应完全加括号方式为 (A1A2…Ak)(Ak+1Ak+2…An)。
总计算量 = A[1:k] 的计算量 + A[k+1:n]的计算量 + A[1:k]和A[k+1:n]相乘的计算量
特征：计算 A[1:n] 的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[1:k] 和 A[k+1:n] 的次序也是最优的。
b. 递归地定义最优值（写出动态规划方程）；
图1.6 建立递归关系
c. 以自底向上的方式计算出最优值。
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3
4 #define NUM 51
5 int p[NUM]; //矩阵维数 P0 x P1,P1 x P2,P2 x P3,...,P5 x P6
6 int m[NUM][NUM]; //最少乘次数 / 最优值数组
7 int s[NUM][NUM]; //最优断开位置
8
9 void MatrixChain(int n)
10 {
11 for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;
12
13 for (int r = 2; r <= n; r++) //矩阵个数
14 for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) //起始
15 {
16 int j=i+r-1; //结尾
17 m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; //计算初值，从i处断开，计算最优断开位置
18 s[i][j] = i;
19 for (int k = i+1; k < j; k++)
20 {
21 int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
22 if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}
23 }
24 }
25 }
26
27 void TraceBack(int i, int j)
28 {
29 if(i==j)
30 cout<<"A"<<i;
31 else
32 {
33 cout<<"(";
34 TraceBack(i,s[i][j]);
35 TraceBack(s[i][j]+1,j);
36 cout<<")";
37 }
38 }
39
40 int main()
41 {
42 int n;
43 scanf("%d", &n);
44 int i, temp;
45 for (i=0; i<n; i++)
46 scanf("%d%d", &p[i], &temp);
47 p[n] = temp;
48 MatrixChain(n);
49 printf("%d\n", m[1][n]);
50 TraceBack(1, n);
51 return 0;
52 }