P1049送给圣诞夜的礼品(矩阵十大问题之四）

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P1049送给圣诞夜的礼品

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标签：组合数学送给圣诞夜的礼物[显示标签]

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描述

当小精灵们把贺卡都书写好了之后。礼品准备部的小精灵们已经把所有的礼品都制作好了。可是由于精神消耗的缘故，他们所做的礼品的质量越来越小，也就是说越来越不让圣诞老人很满意。可是这又是没有办法的事情。

于是圣诞老人把礼品准备部的小精灵们聚集起来，说明了自己的看法：“现在你们有n个礼品，其质量也就是降序排列的。那么为了使得这个礼品序列保持平均，不像现在这样很有规律的降序，我这里有一个列表。”
“列表共有m行，这m行都称作操作（不是序列），每一行有n个数字，这些数字互不相同而且每个数字都在1到n之间。一开始，礼品的序列就是现在礼品所处的位置，也就是说，一开始礼品的序列就是1、2、3、4……n；那么然后，我们看列表的第一行操作，设这一行操作的第i个数字为a[i]，那么就把原来序列中的第a[i]个礼物放到现在这个序列的第i的位置上，然后组成新的礼物序列。然后，看列表的第二行操作……、第三行操作……一直到最后一行操作，重复上面的操作。当最后一行的操作结束，组成了的序列又按照第一行来操作，然后第二行操作……第三行操作……一直循环下去，直到一共操作了k行为止。最后生成的这个序列就是我们最终礼品送给孩子们的序列了。大家明白了吗？”
“明白了！”
等圣诞老人一个微笑走后，大家却开始忙碌了。因为m值可能很大很大，而小精灵们的操作速度有限。所以可能在圣诞老人去送礼物之前完成不了这个任务。让他们很是恼火……

格式

输入格式

第一行三个数，n，m和k。

接下来m行，每行n个数。

输出格式

一行，一共n个数，表示最终的礼品序列。n个数之间用一个空格隔开，行尾没有空格，需要回车。

样例1

样例输入1[复制]

7 5 8
6 1 3 7 5 2 4
3 2 4 5 6 7 1
7 1 3 4 5 2 6
5 6 7 3 1 2 4
2 7 3 4 6 1 5

样例输出1[复制]

2 4 6 3 5 1 7

题意：初始数列为1.2.3...n；然后给了m个操作，每个操作都有n个数，表示把第a[i]的数放到第i位置上了，题目让求经过k次操作后的数列分析：后的序列。m<=10, k<2^31。
    首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：（第i行第a[i] 为1；因为要把第a[i]个数放到第i个位置）
     


    置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 #include <cstdio>
 5 using namespace std;
 6 struct Mat
 7 {
 8     int mat[110][110];
 9 };
10 Mat p[15];
11 int n,m,k;
12 Mat operator * (Mat x, Mat y)
13 {
14     Mat c;
15     memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
16     for(int t = 1; t <= n; t++)
17     {
18         for(int i = 1; i <= n; i++)
19         {
20             for(int j = 1; j <= n; j++)
21                 c.mat[i][j] += x.mat[i][t] * y.mat[t][j];
22         }
23     }
24     return c;
25 }
26 Mat operator ^ (Mat x, int t)
27 {
28     Mat c;
29     for(int i = 1; i <= n; i++)
30         for(int j = 1; j <= n; j++)
31             c.mat[i][j] = (i == j);
32     while(t)
33     {
34         if(t & 1)
35             c = c * x;
36         x = x * x;
37         t >>= 1;
38     }
39     return c;
40 }
41 int main()
42 {
43     while(scanf("%d%d%d", &n,&m,&k) != EOF)
44     {
45         Mat res,c,a;
46         for(int i = 1; i <= n; i++)
47             a.mat[i][1] = i;
48
49         for(int i = 1; i <= n; i++)
50             for(int j = 1; j <= n; j++)
51                 res.mat[i][j] = (i == j);
52
53         for(int i = 1; i <= m; i++)
54         {
55             memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
56             for(int j = 1; j <= n; j++)
57             {
58                 scanf("%d", &p[i].mat[j][1]);
59                 c.mat[j][ p[i].mat[j][1] ] = 1;
60             }
61             res = c * res;
62         }
63
64         res = res ^ (k / m);
65         a = res * a;
66         int temp = k % m;
67         for(int i = 1; i <= temp; i++)
68         {
69             memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
70             for(int j = 1; j <= n; j++)
71                 c.mat[j][ p[i].mat[j][1] ] = 1;
72             a = c * a;
73         }
74         for(int i = 1; i < n; i++)
75         {
76            printf("%d ",a.mat[i][1]);
77         }
78         printf("%d\n",a.mat[n][1]);
79
80     }
81     return 0;
82 }