Chapter 7 快速排序

快速排序---实际排序应用中最好的选择

期望时间复杂度为θ(nlgn)最坏情况复杂度为θ(n²)----由于隐含常数因子小及原址排序，故广泛用

7.1 快速排序描述

采用分治思想

分解：将数组A[p..r]划分为两个子数组A[p..q-1]和A[q+1,r]，划分的依据是使A[p..q-1]的值全都小于或等于A[q]，A[q+1..r]的每个值都大于等于A[q]

解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]进行排序

合并：由于子数组都是原址排序，所以无需合并便已有序

核心思想：数组中找个"坑"，将小于等于该坑的值扔坑的左边，大于等于该坑的值扔坑的右边，在每次递归采取同样措施(自然每次递归都要选坑)

数组的划分(1.其中的r也在数组内,因此在测试代码时为array.count-1  2.其中选择的坑为数组最末元素)：

        static int Partition(List<int> array,int p,int r)
        {
            int x = array[r], temp;
            int i = p-1;         //类似于一个指示,在该指示左边的值均小于x
            for(int j=p;j<r;j++)
            {
                if(array[j]<=x)    //遇到比x小的,放到i的下一位去
                {
                    i++;
                    temp = array[i];
                    array[i] = array[j];
                    array[j] = temp;
                }
            }
            array[r] = array[i + 1];
            array[i + 1] = x;
            return i + 1;
        }

快速排序：

        static void QuickSort(List<int> array,int p,int r)
        {
            int q;
            if(p<r)  //进行递归的条件
            {
                q = Partition(array, p, r);
                QuickSort(array, p, q - 1);
                QuickSort(array, q + 1, r);
            }
        }

7.2 性能分析

最坏情况(基本不可能出现)：每次划分子问题时(包括递归中)产生子问题包含n-1和0个元素，则时间复杂度为θ(n²)

最好和平衡划分的情况(即任何一种常数比例的划分)：产生的递归树深度为θ(lgn)，每一层的时间代价都是O(n),从而可知算法的运行时间是θ(nlgn)

7.3 快速排序的随机化版本(即在选择"坑"时，随机选取)

        static int RandomPartition(List<int> array,int p,int r)
        {
            Random rnd = new Random();
            int position = rnd.Next(p, r + 1);  //随机产生一个p..r之间的数,代表选取"坑"的下标
            int temp = array[r];                //将选取的array[position]与array[r]交换
            array[r] = array[position];
            array[position] = temp;
            return Partition(array, p, r);
        }

--------练习--------

7.4-1 证明在递归式 T(n)=max_0≤q≤n-1(T(q)+T(n-q-1))+θ(n) 中,  T(n)=Ω(n²)

思路,代入法    即证  cn²≤max_0≤q≤n-1(T(q)+T(n-q-1))+θ(n)

由 max_0≤q≤n-1(T(q)+T(n-q-1))+θ(n)≥max(q²+(n-q-1)²)+θ(n)≥(n-q-1)²+θ(n)

∴ T(n)≥(n-q-1)²+θ(n)≥cn_²

--------------------