最小生成树(MST)----普里姆(Prim)算法与克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

1、概念:给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树.

2、应用:例如:要在n个城市之间铺设光缆,主要目标是要使这
n 个城市的任意两个之间都可以通信,但铺设光缆的费用很高,且各个城市之间铺设光缆的费用不同,因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

3、求最小生成树的算法

3.1 普里姆(Prim)算法

方法:从指定顶点开始将它加入集合中,然后将集合内的顶点与集合外的顶点所构成的所有边中选取权值最小的一条边作为生成树的边,并将集合外的那个顶点加入到集合中,表示该顶点已连通.再用集合内的顶点与集合外的顶点构成的边中找最小的边,并将相应的顶点加入集合中,如此下去直到全部顶点都加入到集合中,即得最小生成树.

步骤:

第一步:从①开始,①进集合,用与集合外所有顶点能构成的边中找最小权值的一条边

①——②权6

①——③权1 -> 取①——③边

①——④权5

第二步:③进集合,①,③与②,④,⑤,⑥构成的最小边为

①——④权5

③——⑥权4 -> 取③——⑥边

第三步:⑥进集合,①,③,⑥与②,④,⑤构成的各最小边

①——②权6

③——②权5

⑥——④权2 -> 取⑥——④边

第四步:④进集合,①,③,⑥,④与②,⑤构成的各最小边

①——②权6

③——②权5 -> 取③——②边

⑥——⑤权6

第五步:②进集合,①,③,⑥,②,④与⑤构成的各最小边

②——⑤权3 -> 取②——⑤边

步骤示意图如下所示:

3.2 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

方法:将图中边按其权值由小到大的次序顺序选取,若选边后不形成回路,则保留作为一条边,若形成回路则除去.依次选够(n-1)条边,即得最小生成树.(n为顶点数)

步骤:

第一步:由边集数组选第一条边,即权值为1的边;

第二步:选第二条边,即权值为2的边;

第三步:选第三条边,即权值为3的边;

第四步:选第四条边,即权值为4的边;

第五步:选第五条边。

步骤示意图如下所示:

时间: 2024-10-12 21:58:48

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源代码如下: #include<iostream> using namespace std; #define MAX_VERTEX_NUM 20 #define infinity 9 typedef int QElemType; typedef int EdgeData; typedef char VertexData; typedef struct { VertexData verlist[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点表 EdgeData edge[MAX_VERTEX_NUM

数据结构(五)图---最小生成树(普里姆算法)

一:最小生成树 (一)定义 我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树 (二)什么是最小生成树? 1.是一棵树 1)无回路 2)N个顶点,一定有N-1条边 2.是生成树 1)包含全部顶点 2)N-1条边都在图中 3.边的权重和最小 (三)案例说明 在实际生活中,我们常常碰到类似这种一类问题:如果要在n个城市之间建立通信联络网, 则连通n个城市仅仅须要n-1条线路.这时.我们须要考虑这样一个问题.怎样在最节省经费前提 下建立这个通信网.换句话说,我们须要在这n个城市中找出一个包括全部城市的连通

ACM第四站————最小生成树(普里姆算法)

对于一个带权的无向连通图,其每个生成树所有边上的权值之和可能不同,我们把所有边上权值之和最小的生成树称为图的最小生成树. 普里姆算法是以其中某一顶点为起点,逐步寻找各个顶点上最小权值的边来构建最小生成树. 其中运用到了回溯,贪心的思想. 废话少说吧,这个其实是一个模板,直接套用就好!直接上题吧!这些东西多练就好! 一.最小生成树: 题目描述 求一个连通无向图的最小生成树的代价(图边权值为正整数). 输入 第 一行是一个整数N(1<=N<=20),表示有多少个图需要计算.以下有N个图,第i图的第

数据结构例程——最小生成树的普里姆算法

本文是[数据结构基础系列(7):图]中第11课时[最小生成树的普里姆算法]的例程. (程序中graph.h是图存储结构的"算法库"中的头文件,详情请单击链接-) #include <stdio.h> #include <malloc.h> #include "graph.h" void Prim(MGraph g,int v) { int lowcost[MAXV]; //顶点i是否在U中 int min; int closest[MAXV]

图的生成树(森林)(克鲁斯卡尔Kruskal算法和普里姆Prim算法)、以及并查集的使用

图的连通性问题:无向图的连通分量和生成树,所有顶点均由边连接在一起,但不存在回路的图. 设图 G=(V, E) 是个连通图,当从图任一顶点出发遍历图G 时,将边集 E(G) 分成两个集合 T(G) 和 B(G).其中 T(G)是遍历图时所经过的边的集合,B(G) 是遍历图时未经过的边的集合.显然,G1(V, T) 是图 G 的极小连通子图,即子图G1 是连通图 G 的生成树. 深度优先生成森林   右边的是深度优先生成森林: 连通图的生成树不一定是唯一的,不同的遍历图的方法得到不同的生成树;从不

普里姆Prim算法 - 图解最小生成树

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普里姆(Prim)算法

1 /* 2 普里姆算法的主要思想: 3 利用二维数组把权值放入,然后找在当前顶点的最小权值,然后走过的路用一个数组来记录 4 */ 5 # include <stdio.h> 6 7 typedef char VertexType;//定义顶点类型 8 typedef int EdgeType;//定义边上的权值类型 9 # define MAX_VERTEX 100//最大顶点个数 10 # define INFINITY 65535//用65535代表无穷大 11 12 typedef

图解最小生成树 - 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

我们在前面讲过的<克里姆算法>是以某个顶点为起点,逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的.同样的思路,我们也可以直接就以边为目标去构建,因为权值为边上,直接找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法,只不过构建时要考虑是否会形成环而已,此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构,如图7-6-7 假设现在我们已经通过邻接矩阵得到了边集数组edges并按权值从小到大排列如上图. 下面我们对着程序和每一步循环的图示来看: 算法代码:(改编自<大话数据结构>) C++ Code 1

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

1 # include <stdio.h> 2 3 # define MAX_VERTEXES 100//最大顶点数 4 # define MAXEDGE 20//边集数组最大值 5 # define INFINITY 65535//代表不可能的数(无穷大) 6 7 typedef struct 8 {//图 结构体定义 9 int arc[MAX_VERTEXES][MAX_VERTEXES];//二位数组 矩阵 10 int numVertexes, numEdges;//当前图中的顶点数

图的最小生成树(普利姆prim算法)

什么是生成树呢? 一个连通图的生成树是指一个极小连通子图, 它含有图中的全部顶点,但只有足以构成一棵树的n-1条边. 什么是最小生成树? 在一个连通图的所有生成树中,各边的代价之和最小的那棵生成树称为该连通图的最小代价生成树(MST), 简称最小生成树. 求最小生成树有两种算法,本文讲prim算法. 简略证明 使用反证法证明 设一棵最小生成树T不包含最短边a,将a加入最小生成树T中,书中必定构成一个包含a的回路,而回路中必定有边比a大(因a为最短边),则删除比a大的边得到一棵比原先T更小的树T1