BestCoder上的题,直接贴网站上的题目和题解了。很棒的题。
问题描述
为了铭记历史,国王准备在阅兵的间隙玩约瑟夫游戏。它召来了 n(1≤n≤5000) 个士兵,逆时针围成一个圈,依次标号 1,2,3...n。
第一轮第一个人从 1 开始报数,报到 1 就停止且报到 1 的这个人出局。
第二轮从上一轮出局的人的下一个人开始从 1 报数,报到 2 就停止且报到 2 的这个人出局。
第三轮从上一轮出局的人的下一个人开始从 1 报数,报到 3 就停止且报到 3 的这个人出局。
第 n-1 轮从上一轮出局的人的下一个人开始从 1 报数,报到 n-1 就停止且报到 n-1 的这个人出局。
最后剩余的人是幸存者,请问这个人的标号是多少?
输入描述
第一行一个整数表示测试组数:T(0<T≤5000) 。
每组数据占一行,包含一个整数 n,表示 n 个人围成一圈。
输出描述
共 T 行。对每组数据,输出幸存者的编号。
输入样例
2
2
3
输出样例
2
2
Hint
对于第一组数据,一开始报到 1 的人即标号为 1 的人退出,幸存者是 2 号。
对于第二组数据,一开始报到 1 的人即标号 1 的人退出。接着 2 号报 1,3 号报 2,报到 2 的人即 3 号退出。幸存者是 2 号。
题解:
约瑟夫问题的一个变种,然而题目全部是在唬人,就是一个简单的递推。虽然我知道有人会打表。。。
我们看看裸的约瑟夫是怎么玩的:n 个人,每隔 k 个删除。
由于我们只关心最后一个被删除的人,并不关心最后的过程,所以,我们没有必要也不能够模拟整个过程。我们用递推解决。假设有n个人围成环,标号为[0,n-1]从0开始的好处是取模方便),每数k个人杀一个的情况下,最后一个存活的人的编号是f[n]。
我们有f[1]=0,这不需要解释。
接着考虑一般情况f[n],第一个杀死的人的编号是k-1,杀死后只剩下n-1个人了,那么我们重新编号!
原来编号为k的现在是0号,也就是编号之间相差3我们只要知道现在n-1个人的情况最后是谁幸存也就知道n个人的情况是谁幸存。幸运的是f[n-1]已经算出来了那f[n]就是在f[n-1]的基础上加上一个k即可不要忘记总是要取模。
所以递推式子是: f[i]={ 0 i=1 (f[i - 1] + k) mod i other
此题只用在原版约瑟夫问题上加一维,由于依次隔 1,2,3...n-1个人删除,所以用 f[i][j]表示 i个人,依次隔 j,j+1...j+i-1 个人的幸存者标号。
根据刚才的重标号法,第一次 j-1 号出局,从 j 开始新的一轮,从 j+1 开始清除,剩余 i-1 个人,也有递推式子:
f[i][j]={ 0 i=1 (f[i - 1][j+1] + j) mod i other
答案就是 f[n][1]+1(将标号转移到 [1,n]),问题轻松解决。
复杂度:预处理 O(n^2),查询 O(1),总复杂度 O(n^2)。由于可以滚动数组以及常数太小,所以 n 给了 5000。
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; const int N = 5010; int f[2][N]; // f[i][j]表示i个人 依次隔j,j+1...j+i−1个人删除的幸存者标号 // f[i][j]=(f[i-1][j+1]+j)%i int ans[N]; int main() { f[0][0] = 0; for (int i = 0; i < 5000; ++i) f[1][i] = 0; // 1个人的时候幸存者永远是0 for (int i = 1; i <= 5000; ++i) { for (int j = 1; j <= 5000; ++j) { f[i%2][j] = (f[(i - 1)%2][j + 1] + j) % i; } ans[i] = f[i%2][1]; } int t; scanf("%d", &t); while (t--) { int n; scanf("%d", &n); printf("%d\n", ans[n] + 1); } return 0; }
HDU5643-King's Game