1、前言
a、对于工程问题,一般描述为:从一些测量值(观测量)x 中估计参数 p?即x = f(p),
其中,x为测量值构成的向量,参数p为待求量,为了让模型能适应一般场景,这里p也为向量。
这是一个函数求解问题,可以使用Guass-Newton法进行求解,LM算法是对Newton法的改进。
c、如果函数f为线性函数,那这个问题就变成了最小二乘问题(请参阅我另一篇博客:最小二乘法),
d、这篇博客中讲解的LM法、Newton法主要用于函数f为非线性函数的情况。
2、x = f(p)问题的Newton法求解
当迭代到第k次的时候得到参数,其中为残差:
对f(p)进行一阶泰勒公式展开,J为Jacobi(雅可比)矩阵,因为参数p是个向量,因此对p的求导即对p逐个元素求偏导:
计算第k+1次的残差:
通过第k次到第k+1次的迭代,
可以发现已经把非线性问题转化为线性求解,则最小二乘解为:
则k+1次的参数p为:
3、加权Newton迭代
在Newton法中,所有的因变量都是等量加权的,除此之外,可以使用一个加权的矩阵对因变量进行加权。
例如,当测量矢量 x 满足一个协方差矩阵为的高斯分布,且希望最小化Mahalanobis距离。
当这个协方差矩阵可以是对角的,则表示 x 各坐标之间相互独立。
当协方差矩阵为正定对称矩阵时,正规变为:
备注:马氏距离
4、Levenberg-Marquardt迭代(LM算法)
LM算法是对Newton迭代的改进。
(4)式的正规方程可以简化写成:
LM算法将上式改为:,其中,即N的对角线元素乘以,非对角线元素不变
的设定策略为:在初始化时,通常设定为。
如果通过解增量正规方程得到的导致误差减小,那么接受该增量并在下一次迭代前将除以10。
反之,如果值导致误差增加,那么将乘以10并重新解增量正规方程,继续这一过程直到求出的一个误差下降的为止。
对不同的重复地解增量正规方程直到求出一个可以接受的。
LM算法的直观解释:当非常小时,该方法与Newton迭代本质相同。
当非常大时(本质上大于1),此时的非对角线元素相对于对角元素而言变得不重要,此时算法倾向于下降法。
LM算法在Newton迭代和下降方法之间无缝地移动,Newton法将使得算法在解的领域附近快速收敛,下降法使得算法在
运行困难时保证代价函数是下降的。
5、Newton法(LM法)两个适用场景的转换
a、在上一篇博客Newton法(牛顿法 Newton Method)中讲述了牛顿法适用的两个场景:1、函数求解;2、目标函数的最优化求解
上一篇博客中的f(x)相当于这篇博客中的 x –f(p),上一篇博客中是为了求x,这篇博客中是已知x,求p,只是表述不同。
b、这两个场景有时候是可以相互转换的:
例如:函数求解问题 f(x) = 0,那也可以认为是求解 min||f(x)||,其中||.||表示二范数,即
例如:目标函数优化问题 min ||f(x)||,当这个优化问题的理论最优解就是为 0 时,那么这个问题也可以转化为求解 f(x) = 0