梅森素数

定理：如果m是一个正整数，且2^m-1是一个素数，则m比是一个素数。

定义：如果m是一个正整数，且是素数而且=2^m-1称作第m个梅森数，若=2^m-1是一个素数，那么就称它是一个梅森素数。

判定方法：lucas-lehmer判定法

设p是一个素数，第p个个梅森数，r[1]=4，对于k>=2，利用

r[k]=r[k-1]^1-2(mod )
   0=<r[k]<

可以得到r的序列，则有是素数，当且仅当r[p-1]=0（mod ）。

lucas-lehmer判定法模版：

bool lucas(long long x,long long n)      //x=(1<<n)-1
{
    long long tmp;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        tmp=data[i-1]*data[i-1];
        data[i]=(tmp-2)%x;
    }
    if(n==2)
        return true;
    else if(data[n-1]==0) return true;
    else return false;
}

例题：nefu 120 梅森素数

给定一个正整数n，求出第n个梅森数是否是梅森素数。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
long long data[64];

long long multi(long long m,long long p)     //因为给出的数的平方可能会溢出
{                                           //所以选择将乘法取余转化成加法取余
    if(m<0) m=-m;
    long long n=m;
    long long t=0;
    while(n)
    {
        if(n&1) t=(t+m)%p;
        n>>=1;
        m=(m<<1)%p;
    }
    return t;
}

bool lucas(long long x,long long n)
{
    long long tmp;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        tmp=multi(data[i-1],x);
        data[i]=(tmp-2)%x;
    }
    if(n==2)
        return true;
    else if(data[n-1]==0) return true;
    else return false;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        data[1]=4;
        long long x,m=1;
        cin>>x;
        m=(m<<x)-1;
        //cout<<x<<" "<<m<<endl;
        if(lucas(m,x)) printf("yes\n");
        else printf("no\n");
    }
    return 0;
}

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