证明:如果矩阵A的列向量组线性无关,则矩阵ATA可逆
设ATAX=0,如果ATA可逆,则ATAX=0有唯一解X=0,即X为零向量。
因此,原命题的证明等价于证明“如果矩阵A的列向量组线性无关,则ATAX=0有唯一解X=0”。
令XTATAX=0,则有(AX)TAX=0。由(AX)TAX=0可知AX是零向量,其中X是ATAX=0的解。
设A = [a1 a2 … an],X=[x1 x2 … xn]T,因为A的列向量组线性无关,所以令x1a1+x2a2+…+xnan=0成立的唯一解是x1,…xn全为0,即X=0,X为零向量(注意X是ATAX=0的解)。
证毕。
时间: 2024-08-02 07:02:38