http://hihocoder.com/problemset/problem/1489
笔试题第一道，虽然说第一道都很水，但是我感觉这题不算特别水把。。这道题我就卡住了我记得，tle，最后只有30分，比较惨烈。我个人感觉这道题正解比较难想把，那时候太年轻，没有想到当item很大时，可以从第八道item开始就把初始p当成0来计算。。不过我试了一下，发现即使如此，还要计算每次的数学期望，反正我当时要是不知道，Ei和Ei+1之间的联系，应该还是算不出来。。我太麻瓜了。。
贴一下我tle代码，思路就是dfs这个概率树。。非常完美可惜不行。
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
double startp,q;
int n;
double getsum(int all,int num,double p,double sum)
{
double left,right;
if(num==n) return sum*all;
if(p>=1)
{
right=0;
double nextp;
if(num>=7) nextp=0;
else nextp=startp/(1<<(num+1));
left=getsum(all+1,num+1,nextp,sum);
}
else if(p==0)
{
left=0;
right=getsum(all+1,num,q,sum);
}
else
{
right=getsum(all+1,num,p+q,sum*(1-p));
double nextp;
if(num>=8) nextp=0;
else nextp=startp/(1<<(num+1));
left=getsum(all+1,num+1,nextp,sum*p);
}
return left +right;
}
int main()
{
double res;
scanf("%lf %lf %d",&startp,&q,&n);
startp/=100;
q/=100;
res=getsum(0,0,startp,1);
printf("%.2lf\n",res);
return 0;
}
这题很关键的一点的就是，就是不同个数的期望是可以相加的。这个地方我一直很不明白，非常困惑，哇，要是我知道是这样，就直接相加了啊，谁还写dfs啊。。
http://www.mamicode.com/info-detail-1759090.html 这个我看了这个博主给的解释：
其实我们发现图中那两个标号 1 的节点子树是一样的，它们获取下一个物品的情况和期望都是一样的。我本来在考虑不同情况下拿到第一个，开始拿第二个，第二个和第一个是不是独立的？但是其实所有情况下拿到第一个的概率总和是1，所以无论 dfs 的哪一个分支，最后都会到同一个初始概率去获取第二个，所以获取第二个的期望与第一个是独立可加的。
我比较愚钝，还是不能非常理解。。相互独立的话，可是题意中给的式子是
2*50%*25% + 3*50%*75%*100% + 3*50%*100%*25% + 4*50%*100%*75%*100% = 3.25
意思是每个都是和做掉的任务个数是相关的，并且是累加的。。就是完成了1件传说后，已经完成了2个任务，然后下次就要从3开始算，并且概率还要相乘。。算的话看起来好像不是直接相加就好了。。当然博主说的很好也是对的。。只是我乍一看并不是非常理解。。
http://blog.csdn.net/sddyzjh/article/details/68950610 还有这个博主，
那么期望的计算式可以写成Ei=Σpk?lk,其中pk表示做了lk个任务后拿到i个奖励的概率
用Pi表示?P2i?%
接着考虑Ei+1=Σp′k?l′k
=Pi+1?Σpk?(lk+1)
+(1?Pi+1)?(Pi+1+Q%)?Σpk?(lk+2)
+(1?Pi+1)?(1?Pi+1?Q%)?(Pi+1+2Q%)?Σpk?(lk+3)+...
直到Pi+1+kQ%超过1结束
于是用ci=Σpk
Ei+1=Σp′k?l′k
=Pi+1?(Ei+ci)
+(1?Pi+1)?(Pi+1+Q%)?(Ei+2ci)
+(1?Pi+1)?(1?Pi+1?Q%)?(Pi+1+2Q%)?(Ei+3ci)+...
直接用算的，求出Ei+1和Ei的关系，答案就很明显了。看了式子之后，发觉写的很好，很容易理解。应该可以根据这个规律直接code，博主给的代码也蛮好理解的。
其实有一个很明显的地方值得注意。其实我们可以发现Ei=Σpk?lk跟概率论的数学期望很相似啊。这道题其实就是让我们求数学期望，我之前一直不知道在想什么，把绕来绕去。。我们可以发现Ei是绝对收敛的呀。要是k无限大，就是完成的任务无限多的时候，概率是趋于1的呀讲道理啊，就是完成任务无限多，不是肯定要完成传说任务的。
数学期望其实就是一个加权平均意思，这道题中的意思就是当给定了n，即要完成n个传说任务，加权平均一下，数学期望在这里表示的就是要完成平均多少个任务才能完成n个传说任务。数学期望在物理上就是一堆质点的重心，也就是加权平均。两个铁块已知重心的话，把他们重叠起来，在坐标轴上新的重心不就是两个重心的中点嘛，所以是可以直接相加的。
设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质：
1.E（C）=C
2.E（CX）=CE（X）
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4.当X和Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)
性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。
上面是数学期望的性质，是可以直接相加的两个期望。所以这道题也不难理解了。
这是数学期望期望E(X+Y)=E(X)+E(Y) 就是这道题的精髓，很特别，我开始不知道这个，就被dfs套牢了。。唉。悲伤的故事。。 数学果然是算法的灵魂。。好好学习。。天天向上。。
贴一下别人ac代码。。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
double ans=0;
double num[105] = {0};
int n,p,q;
int main()
{
scanf("%d%d%d",&p,&q,&n);
for(int pre = 0 ; pre <= 100 ; ++ pre )
{
int cnt = 0;
double p1 = 1;
while(1)
{
double xq = ( pre + cnt * q) / 100.0;
if( pre + cnt * q >= 100 )
{
num[pre] += ( cnt + 1 ) * p1 ;
break;
}
num[pre] += p1 * xq * ( cnt + 1 );
p1 *= ( 1 - xq );
cnt++;
}
}
int pre = p;
for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i )
{
if( pre == 0 )
{
ans += ( n - i + 1 ) * num[0];
break;
}
ans += num[pre];
pre >>= 1;
}
printf("%.2lf\n",ans);
return 0;
}