Codility上的练习（11）

（1）Ladder

给定两个等长的数组A和B, A[i]和B[i]表示求一个有A[i]级的梯子，每次上1级或者两级，上到最高级的方法数对2^B[i]取余数的结果。

数据范围：数组长度 L [1..30000] , A中数字范围 [1..L], B中数字范围[1..30]

要求复杂度 时间空间都是O(L)

分析：打表法——我们循环可以把0..L的结果都算出来 f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]  , f[0] = f[1] = 1。 关键点在于取余数，这个取余数很特殊，对2^B[i]取余数，相当于取结果的低B[i] bit。因此我们可以取所有结果的低30位，打好表，输出时再真正取B[i]位，就能达到O(L)的复杂度了。

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>

const int M = (1 << 30) - 1;
vector<int> solution(vector<int> &A, vector<int> &B) {
    // write your code in C++98

    int m = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {
        m = max(m, A[i]);
    }
    vector<int> f;
    f.resize(m + 1);
    f[0] = f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= m; ++i) {
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) & M;
    }
    vector<int> answer;
    for (int i = 0; i < A.size(); ++i) {
        answer.push_back(f[A[i]] & ((1 << B[i]) - 1));
    }
    return answer;
}

(2) FibFrog

先给了Fibonacci的定义F[0] = 0, F[1] = 1, F(M) = F(M - 1) + F(M - 2) if M >= 2。一只青蛙想从河岸(-1)跳到对岸(N)。中间有0..N-1这N个位置，有一个数组A[]表示这些位置是否有荷叶 ，0表示没有，1表示有。青蛙从岸上要跳到荷叶上，通过0个或者多个荷叶跳到对岸，而且只能朝对岸的方向跳——不能往回跳。而且青蛙每次跳的距离必须是一个Fibonacci数，请问青蛙最少几步跳到对岸？无解返回－1。

数据范围： N [0..30000]

要求复杂度 :时间O(NlogN)，空间O(N)。

分析： 首先我们可以把数组尾端加一个1，表示对岸。可以认为首端有一个1或者认为数组下标从1开始，我们现在目标是到数组最后一个元素，只能通过1且跳的距离是Fibonacci数的最小步数。 这是一个显然的dp (或者说是bfs）。对于位置i 并且A[i] == 1,我们有 dp[i] = min(dp[i - f[j]]) + 1 其中f[j]是fibonacci数并且满足A[i - f[j]]＝＝1

因为Fibonacci是指数增长的，所以不超过N的Fibonacci数是O(logN)个，整个递推的时间复杂度是O(NlogN)。

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>
int solution(vector<int> &A) {
    // write your code in C++98
    A.push_back(1);
    int n = A.size();
    vector<int> f;
    f.push_back(1);
    f.push_back(1);
    for (int i = 1; f[i] < n; ++i) {
        f.push_back(f[i] + f[i - 1]);
    }
    vector<int> answer;
    answer.resize(n + 1, -1);
    answer[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        answer[i] = -1;
        if (A[i - 1] == 0) {
            continue;
        }
        for (int j = 0;(j < f.size()) && (i >= f[j]); ++j) {
            if ((answer[i - f[j]] >= 0) && ((answer[i] < 0) || (answer[i] > answer[i - f[j]] + 1))) {
                answer[i] = answer[i - f[j]] + 1;
            }

        }

    }
    return answer[n];
}