一道课堂上的复变题

计算$$\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z+2}dz,$$并由此证明：

$$\int_{0}^{\pi}\frac{1+2\cos \theta}{5+4\cos\theta}d\theta =0$$

证：由$Cauchy-Goursat$基本定理：$$\oint\limits_{|z|=1}\frac{1}{z+1}dx=0.$$

又因为：$$\oint\limits_{|z|=1}\frac1{z+1}dz$$

$$=\int_{0}^{2\pi}\frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}+2}d\theta$$

$$=-\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin \theta}{5+4\cos\theta}d\theta+i\int_{0}^{2\pi}\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}d\theta$$

显然：$$\int_0^{2\pi}\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}d\theta=0$$

令$\theta-\pi=t$

可得：$$\int_0^{2\pi}\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}d\theta=2\int_0^{\pi}\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}d\theta=0$$

所以：$$\int_0^{\pi}\frac{1+2\cos\theta}{5+4\cos\theta}d\theta=0$$