矩阵的“特征值分解”和“奇异值分解”区别

在信号处理中经常碰到观测值的自相关矩阵，从物理意义上说，如果该观测值是由几个（如 K 个）相互统计独立的源信号线性混合而成，则该相关矩阵的秩或称维数就为 K，由这 K 个统计独立信号构成 K 维的线性空间，可由自相关矩阵最大 K 个特征值所对应的特征向量或观测值矩阵最大 K 个奇异值所对应的左奇异向量展成的子空间表示，通常称信号子空间，它的补空间称噪声子空间，两类子空间相互正交。理论上，由于噪声的存在，自相关矩阵是正定的，但实际应用时，由于样本数量有限，可能发生奇异，矩阵条件数无穷大，造成数值不稳定，并且自相关矩阵特征值是观测值矩阵奇异值的平方，数值动态范围大，因而子空间分析时常采用观测值矩阵奇异值分解，当然奇异值分解也可对奇异的自相关矩阵进行。在自相关矩阵正定时，特征值分解是奇异值分解的特例，且实现时相对简单些，实际中，常采用对角加载法保证自相关矩阵正定，对各特征子空间没有影响。在信号处理领域，两者都用于信号的特征分析，但两者的主要区别在于：奇异植分解主要用于数据矩阵，而特征植分解主要用于方型的相关矩阵 。