第四章 特征值与特征向量

§4.1  特征值与特征向量

§4.1.1特征值与特征向量的概念及其计算

定义1.  设A是数域P上的一个n阶矩阵,l是一个未知量,

     

称为A的特征多项式,记 |(l)=| lE-A|,是一个P上的关于 l

的n次多项式,E是单位矩阵。

|(l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+…+an= 0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。 特征方程 |(l)=| lE-A|=0的根 (如:l0称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。

A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ,得方程组 (l0E-A)X=q,是一个齐次方程组,称为A的关于l0的特征方程组。因为 |l0E-A|=0,(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0) X(0) 称为A的属于 l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。

 

 

一. 特征值与特征向量的求法

    对于矩阵A,由AX=l0X,l0EX=AX,得:

         [l0E-A]X=q  即齐次线性方程组

    

有非零解的充分必要条件是:

即说明特征根  是特征多项式 |l0E-A| =0的根,由代数基本定理

n个复根 l1, l2,…, ln,为A的n个特征根。

当特征根 li (I=1,2,…,n)求出后,(liE-A)X=q 是齐次方程,li均会使 |liE-A|=0,(liE-A)X=q 必存在非零解,且有无穷个解向量,(liE-A)X=0 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

1. 求矩阵  的特征值与特征向量。

解:由特征方程

解得A有2重特征值 l1=l2=-2,有单特征值 l3=4

对于特征值 l1=l2=-2,解方程组 (-2E-A)x=q

得同解方程组 x1-x2+x3=0

解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)

分别令自由未知量 

得基础解系 

所以A的对应于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量为

x=k1x1+k2x2    (k1,k2不全为零)

可见,特征值 l=-2的特征向量空间是二维的。注意,特征值在重根时,特征向量空间的维数£特征根的重数。

对于特征值 l3=4,方程组  (4E-A)x=0

得同解方程组为 

通解为 

令自由未知量 x3=2 得基础解系  

所以A的对于特征值 l3=4 得全部特征向量为 x= kx3

 

例2.       求矩阵  

的特征值与特征向量

解:由特征方程

解得A有单特征值 l1=1,有2重特征值 l2=l3=0

对于 l1=1,解方程组 (E-A) x = 0

得同解方程组为 

同解为 

令自由未知量 x3=1,得基础解系 

所以A的对应于特征值 l1=1的全部特征向量为 x=k1x1  (k110)

对于特征值 l2=l3=0,解方程组  (0E-A)=0

得同解方程组为 

通解为 

令自由未知量 x3=1,得基础解系 

此处,二重根 l=0 的特征向量空间是一维的,特征向量空间的维数<特征根的重数,这种情况下,矩阵A是亏损的。

所以A的对应于特征值 l2=l3=0 得全部特征向量为 x=k2x

 

例3.   矩阵  的特征值与特征向量

解:由特征方程

解得A的特征值为  l1=1, l2=i, l3=-i

      对于特征值 l1=1,解方程组 (E-A)=q ,由

      

得通解为

令自由未知量 x1=1,得基础解系 x1=(1,0,0)T,所以A的对应于特征值 l1=1得全部特征向量为 x=k1x1

      对于特征值 l2=i,解方程组 (iE-A)=0

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1,得基础解系 x2=(0,i,1)T,所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为 x=k2x2  (k210)。

      对于特征值 l3=-i,解方程组 (-E-A)x=0,由

      

得同解方程组为

通解为

令自由未知量 x3=1,,得基础解系 x3=(0,-i,1)T,所以A的对应于 l3=-i的全部特征向量为 x=k3x3 。特征根为复数时,特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。而特征值 li的特征向量却有无穷多个,他们都是齐次线性方程组 (liE-A)x=0 的非0解。其中,方程组(liE-A)x=0的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。

 

性质1.  n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1,l2,…, ln(包括重根),则

   

证第二个式子:

由伟达定理,l1l2ln=(-1)nan

 |lE-A|=ln+a1ln -1+…+an-1l1+an 中用 l=0 代入二边,得:

|-A|=an 而 |A|=(-1)nanl1l2ln

 

性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则

 是A-1的一个特征根,x仍为对应的特征向量。

  证:

可见  是A-1的一个特征根。

其中 l10,这是因为0不会为可逆阵的特征根,不然,若li=0,

|A|= l1l2ln=0,A奇异,与A可逆矛盾。

 

性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则

lm是Am的一个特征根,x仍为对应的特征向量。

证:1) Ax=lx,二边左乘A,得:A2x=Alx=lAx=llx=l2x,

可见 l A的特征根;

    2) 若 l A的一个特征根,Amx= lmx,

   二边左乘A,得:Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x,

   得lm+1Am+1的特征根

  用归纳法证明了l A的一个特征根。

 

性质4. 设 l1l2…, lm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于li 的特征向量( i=1,2,…,m),则 x1,x2,…,xm线性无关,即不相同特征值的特征向量线性无关 。

性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系,因而是一个很重要的结论。

    性质4可推广为:设 l1l2…, lm为方阵A的互不相同的特征值,x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量,……,xm1,xm2,…,xm,k1是属于l的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,…,x1,k1,…, xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值,取他们各自的线性无关的特征向量,则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。

原文地址:https://www.cnblogs.com/onemorepoint/p/8128036.html

时间: 2024-10-11 04:00:03

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