§4.1 特征值与特征向量
§4.1.1特征值与特征向量的概念及其计算
定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵,l是一个未知量,
称为A的特征多项式,记 |(l)=| lE-A|,是一个P上的关于 l
的n次多项式,E是单位矩阵。
|(l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+…+an= 0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。 特征方程 |(l)=| lE-A|=0的根 (如:l0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。
以A的特征值 l0代入 (lE-A)X=q ,得方程组 (l0E-A)X=q,是一个齐次方程组,称为A的关于l0的特征方程组。因为 |l0E-A|=0,(l0E-A)X=q 必存在非零解X(0) ,X(0) 称为A的属于 l0的特征向量。所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。
一. 特征值与特征向量的求法
对于矩阵A,由AX=l0X,l0EX=AX,得:
[l0E-A]X=q 即齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是:
即说明特征根 是特征多项式 |l0E-A| =0的根,由代数基本定理
有n个复根 l1, l2,…, ln,为A的n个特征根。
当特征根 li (I=1,2,…,n)求出后,(liE-A)X=q 是齐次方程,li均会使 |liE-A|=0,(liE-A)X=q 必存在非零解,且有无穷个解向量,(liE-A)X=0 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。
例1. 求矩阵 的特征值与特征向量。
解:由特征方程
解得A有2重特征值 l1=l2=-2,有单特征值 l3=4
对于特征值 l1=l2=-2,解方程组 (-2E-A)x=q
得同解方程组 x1-x2+x3=0
解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)
分别令自由未知量
得基础解系
所以A的对应于特征值 l1=l2=-2的全部特征向量为
x=k1x1+k2x2 (k1,k2不全为零)
可见,特征值 l=-2的特征向量空间是二维的。注意,特征值在重根时,特征向量空间的维数£特征根的重数。
对于特征值 l3=4,方程组 (4E-A)x=0
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=2 得基础解系
所以A的对于特征值 l3=4 得全部特征向量为 x= k3 x3
例2. 求矩阵
的特征值与特征向量
解:由特征方程
解得A有单特征值 l1=1,有2重特征值 l2=l3=0
对于 l1=1,解方程组 (E-A) x = 0
得同解方程组为
同解为
令自由未知量 x3=1,得基础解系
所以A的对应于特征值 l1=1的全部特征向量为 x=k1x1 (k110)
对于特征值 l2=l3=0,解方程组 (0E-A)=0
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=1,得基础解系
此处,二重根 l=0 的特征向量空间是一维的,特征向量空间的维数<特征根的重数,这种情况下,矩阵A是亏损的。
所以A的对应于特征值 l2=l3=0 得全部特征向量为 x=k2x3
例3. 矩阵 的特征值与特征向量
解:由特征方程
解得A的特征值为 l1=1, l2=i, l3=-i
对于特征值 l1=1,解方程组 (E-A)=q ,由
得通解为
令自由未知量 x1=1,得基础解系 x1=(1,0,0)T,所以A的对应于特征值 l1=1得全部特征向量为 x=k1x1
对于特征值 l2=i,解方程组 (iE-A)=0
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=1,得基础解系 x2=(0,i,1)T,所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为 x=k2x2 (k210)。
对于特征值 l3=-i,解方程组 (-E-A)x=0,由
得同解方程组为
通解为
令自由未知量 x3=1,,得基础解系 x3=(0,-i,1)T,所以A的对应于 l3=-i的全部特征向量为 x=k3x3 。特征根为复数时,特征向量的分量也有复数出现。
特征向量只能属于一个特征值。而特征值 li的特征向量却有无穷多个,他们都是齐次线性方程组 (liE-A)x=0 的非0解。其中,方程组(liE-A)x=0的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。
性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1,l2,…, ln(包括重根),则
证第二个式子:
由伟达定理,l1l2…ln=(-1)nan
又 |lE-A|=ln+a1ln -1+…+an-1l1+an 中用 l=0 代入二边,得:
|-A|=an, 而 |A|=(-1)nan= l1l2…ln,
性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
是A-1的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:
可见 是A-1的一个特征根。
其中 l10,这是因为0不会为可逆阵的特征根,不然,若li=0,
|A|= l1l2…ln=0,A奇异,与A可逆矛盾。
性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
lm是Am的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:1) Ax=lx,二边左乘A,得:A2x=Alx=lAx=llx=l2x,
可见 l2 是 A2 的特征根;
2) 若 lm 是 Am 的一个特征根,Amx= lmx,
二边左乘A,得:Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x,
得lm+1是Am+1的特征根
用归纳法证明了lm 是 Am 的一个特征根。
性质4. 设 l1,l2,…, lm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于li 的特征向量( i=1,2,…,m),则 x1,x2,…,xm线性无关,即不相同特征值的特征向量线性无关 。
性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系,因而是一个很重要的结论。
性质4可推广为:设 l1,l2,…, lm为方阵A的互不相同的特征值,x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量,……,xm1,xm2,…,xm,k1是属于lm 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,…,x1,k1,…, xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值,取他们各自的线性无关的特征向量,则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。
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