逻辑回归（Logistic regression）
逻辑回归是统计学习中的经典分类方法。其多用在二分类{0,1}问题上。
定义1：
设X是连续随机变量，X服从逻辑回归分布是指X具有下列分布函数与密度函数：
分布函数属于逻辑斯谛函数，其图形是一条S形曲线。
定义2：
二项逻辑斯谛回归模型是如下条件概率分布：
从上式可以看出，逻辑回归对线性回归经行了归一化操作，将输出范围规定在{0,1}。
现在来看，逻辑回归的的特点，几率，指一件事件发生的概率与不发生的概率的比值。对上式分别求对数，我们可得如下式子。
这就是说，在逻辑回归模型中，输出Y=1的对数几率是输入x的线性函数。
对输入x经行分类的线性函数w*x，其值域为实数域。通过逻辑回归模型可以将线性函数转化为概率，
这就意味着，线性函数值越接近正无穷，概率越接近1；线性函数值越接近负无穷，概率值越接近0。这样的模型称为逻辑回归模型。
损失函数：
如同，在感知机一节中一样，我们需要构造损失函数，更新权值参数。我们利用极大似然估计法估计模型参数，即w。极大似然估计法是已经知道结果,然后寻求使该结果成立的最大可能条件（条件即模型参数）。
似然函数：
对数似然函数：
这样子，我们有了损失函数，这里我们只要将该函数极大化即可，求其最大值时的w即可。
优化求解：
梯度下降法
总是朝着负方向改变，直到找到极小值。初中数学中，对一个函数求导可以得到函
数在某一点的斜率k（表示函数的增长速率，朝着正方向改变），如果我们将斜率取负号
-k，那么就得到了朝着负方向增长的速率。在这里，由于我们要极大化对数似然函数，所
以在这里不用加负号。
更新公式：
其中，alpha是学习率。
python源码：
#coding=utf-8
#author=altman
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def loadData():
train_x = []
train_y = []
fileIn = open('data.txt')
for line in fileIn.readlines():
lineArr = line.strip().split()
train_x.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
train_y.append(float(lineArr[2]))
train_x = np.array(train_x)
train_y = np.array(train_y).T
return train_x,train_y
def sigmod(x):
return 1.0/(1.0+np.exp(-x))
def train(matrix,labels):
size = matrix.shape[1]
w = np.ones(size)
while True:
x = np.dot(matrix,w)
y = sigmod(x)
diff = labels - y
tmpW = w + 0.01*np.dot(matrix.T,diff)
diff2 = (tmpW-w)**2
sum_diff2 = sum(diff2)
sq = sum_diff2**0.5
if sq < 0.001:
break
else:
w = tmpW
return w
def test(matrix,labels,w):
x = np.dot(matrix,w)
y = sigmod(x)
error = 0.0
for i,result in enumerate(y):
if result > 0.5:
predict = 1.0
if predict != labels[i]:
error +=1
else:
predict = 0.0
if predict != labels[i]:
error +=1
print("错误率：%3.2f" %(error/100.0))
def show(data,labels,w):
x1=[]
y1=[]
x2=[]
y2=[]
for i in range(len(labels)):
if labels[i] == 0:
x1.append(data[i,1])
y1.append(data[i,2])
else:
x2.append(data[i,1])
y2.append(data[i,2])
plt.scatter(x1,y1,edgecolors='r')
plt.scatter(x2,y2,edgecolors='k')
max_x = (np.max(data[:,1]))
min_x = (np.min(data[:,1]))
y_min_x = float(-w[0] - w[1] * min_x) / w[2]
y_max_x = float(-w[0] - w[1] * max_x) / w[2]
plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')
plt.show()
def main():
matrix,labels = loadData()
weights = train(matrix,labels)
test(matrix,labels,weights)
show(matrix,labels,weights)
if __name__ == '__main__':
main()
实验结果图：
实验数据集：
-0.017612 14.053064 0 -1.395634 4.662541 1 -0.752157 6.538620 0 -1.322371 7.152853 0 0.423363 11.054677 0 0.406704 7.067335 1 0.667394 12.741452 0 -2.460150 6.866805 1 0.569411 9.548755 0 -0.026632 10.427743 0 0.850433 6.920334 1 1.347183 13.175500 0 1.176813 3.167020 1 -1.781871 9.097953 0 -0.566606 5.749003 1 0.931635 1.589505 1 -0.024205 6.151823 1 -0.036453 2.690988 1 -0.196949 0.444165 1 1.014459 5.754399 1 1.985298 3.230619 1 -1.693453 -0.557540 1 -0.576525 11.778922 0 -0.346811 -1.678730 1 -2.124484 2.672471 1 1.217916 9.597015 0 -0.733928 9.098687 0 -3.642001 -1.618087 1 0.315985 3.523953 1 1.416614 9.619232 0 -0.386323 3.989286 1 0.556921 8.294984 1 1.224863 11.587360 0 -1.347803 -2.406051 1 1.196604 4.951851 1 0.275221 9.543647 0 0.470575 9.332488 0 -1.889567 9.542662 0 -1.527893 12.150579 0 -1.185247 11.309318 0 -0.445678 3.297303 1 1.042222 6.105155 1 -0.618787 10.320986 0 1.152083 0.548467 1 0.828534 2.676045 1 -1.237728 10.549033 0 -0.683565 -2.166125 1 0.229456 5.921938 1 -0.959885 11.555336 0 0.492911 10.993324 0 0.184992 8.721488 0 -0.355715 10.325976 0 -0.397822 8.058397 0 0.824839 13.730343 0 1.507278 5.027866 1 0.099671 6.835839 1 -0.344008 10.717485 0 1.785928 7.718645 1 -0.918801 11.560217 0 -0.364009 4.747300 1 -0.841722 4.119083 1 0.490426 1.960539 1 -0.007194 9.075792 0 0.356107 12.447863 0 0.342578 12.281162 0 -0.810823 -1.466018 1 2.530777 6.476801 1 1.296683 11.607559 0 0.475487 12.040035 0 -0.783277 11.009725 0 0.074798 11.023650 0 -1.337472 0.468339 1 -0.102781 13.763651 0 -0.147324 2.874846 1 0.518389 9.887035 0 1.015399 7.571882 0 -1.658086 -0.027255 1 1.319944 2.171228 1 2.056216 5.019981 1 -0.851633 4.375691 1 -1.510047 6.061992 0 -1.076637 -3.181888 1 1.821096 10.283990 0 3.010150 8.401766 1 -1.099458 1.688274 1 -0.834872 -1.733869 1 -0.846637 3.849075 1 1.400102 12.628781 0 1.752842 5.468166 1 0.078557 0.059736 1 0.089392 -0.715300 1 1.825662 12.693808 0 0.197445 9.744638 0 0.126117 0.922311 1 -0.679797 1.220530 1 0.677983 2.556666 1 0.761349 10.693862 0 -2.168791 0.143632 1 1.388610 9.341997 0 0.317029 14.739025 0
时间： 2024-10-09 02:34:04