约瑟夫问题的N种解法
1 问题的历史以及不同的版本
1.1
约瑟夫环（Josephus）问题是由古罗马的史学家约瑟夫（Josephus）提出的，他参加并记录了公元66—70年犹太人反抗罗马的起义。约瑟夫作为一个将军，设法守住了裘达伯特城达47天之久，在城市沦陷之后，他和40名死硬的将士在附近的一个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说“要投降毋宁死”。于是，约瑟夫建议每个人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是由抽签决定的。约瑟夫有预谋地抓到了最后一签，并且，作为洞穴中的两个幸存者之一，他说服了他原先的牺牲品一起投降了罗马。
1.2
17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲的一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒.
1.3
有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1 开始报数。就这样，直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入ｎ，ｍ后，输出最后猴王的编
号。
1.4
编号为1,2,3,…,n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。一开始任选一个正整数作为报数的上限值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数,报到m时停止。报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向上的下一人开始重新从1报数，如此下去，直到所有人全部出列为止。编程打印出列顺序。
2 问题的解法
2.1 数组解法
建立一个数组并且初始化所有的元素为1，然后开始遍历数组，遇到符合条件的就把数组中对用的元素设置为0，并且在下次循环的时候不把0包括在内。
程序如下所示：
#include <iostream>
using namespace std;
void main()
{
cout<<"Pleaseinput the total number n and selected number m"<<endl;
intn,m;
cin>>n>>m;
if(n<2 || m<1 )
{
cout<<"n is at least equal to 2 and m must bigger than0"<<endl;
cin>>n>>m;
}
int*pArr = new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
pArr[i] = i+1;
inti=0;
intj=0;
intk=0;
while(k<n)
{
if(pArr[i] !=0 )
j++;
if(j==m )
{
j=0;
cout<<pArr[i]<<" ";
pArr[i]=0;
k++;
}
if(i<n-1)
i++;
else
i=0;
}
delete[]pArr;
}
2.2 循环链表解法
这个是最显而易见的想法，遇到符合条件的节点就将其删除并且输出对应的编号
程序如下：
链表创建：
#ifndef DDXX_LINK_H
#define DDXX_LINK_H
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
struct Node
{
int nId;
Node *next;
};
Node* InitLink(int num);
#endif
#include "Link.h"
Node* InitLink(int num)
{
if(num<1)
{
std::cout<<"The link is must be longer than 1"<<endl;
return NULL;
}
Node* head = new Node;
head->nId=1;
head->next = NULL;
Node* ptr = head;
int cnt = 1;
while( cnt<num )
{
ptr->next = new Node;
if(ptr == NULL)
return NULL;
ptr->next->next = head;
ptr->next->nId = ++cnt;
ptr = ptr->next;
}
return head;
}
测试：
<pre name="code" class="cpp">#include <iostream>
#include "Link.h"
using namespace std;
void main()
{
cout<<"Pleaseinput the total number n and the selected m"<<endl;
intn,m;
cin>>n>>m;
if(n<2 || m<1)
{
cout<<"n is at least equal to 2 and m is must bigger than0"<<endl;
cin>>n>>m;
}
Node *head = InitLink(n);
if(head== NULL)
{
cout<<"Init linklist failed"<<endl;
return;
}
intk=0;
inti=0;
Node *ptr = head;
Node *p = NULL;
while(k<n)
{
if(i<m-1)
{
i++;
p = ptr;
ptr = ptr->next;
}
else
{
cout<<ptr->nId<<" ";
p->next =ptr->next;
Node* ptmp = ptr;
ptr = ptr->next;
delete ptmp;
ptmp = NULL;
k++;
i=0;
}
}
}
2.3 递推解法
n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
实现程序如下所示：
#include <iostream>
using namespace std;
void main()
{
int n;
int m;
cout<<"Pleaseint n for total number and m for selected number"<<endl;
cin>>n>>m;
if(n<2|| m<=0)
{
cout<<"n is at least equal to 2 and m must be bigger than0"<<endl;
cin>>n>>m;
}
int s =0;
for(int i=2;i<=n;i++)
s = (s + m) % i;
cout<<"Theleft number is(0 based): "<<s<<endl;
}