非线性分类器(Non-linear hypotheses)
为什么使用非线性分类器
我们举几个栗子:
假如我们有一个数据空间如左上角坐标系所示,那么我们要的模型需要如右边公式所示的预测函数.
假设有n个特征那么计算二次多项式就有O(n^2)的复杂度.n能有多大?我们来看下面这个栗子.
假设我们需要识别汽车,假如选取图像上两个点,那么就如左边坐标系所示,这没什么.
但实际上我们需要的数据空间时整张图片所有的像素.也就是假设图像是50?50那么我们就有2500个像素点.也就是需要2500个特征.
刚才说的是灰度图,如果时RGB的话时7500个,实际运用中也不只50?50 这么小.
综上所述,线性分类器肯定是不行的.
神经网络
神经网络是模拟人类的神经元时发明的.
神经网络的表示
一个神经元(Neuron)就是如图所示,他和我们的逻辑回归表示并没有什么区别.
Sigmoid Function叫做激励(activation)函数.
θ也被成为权重(weights)
神经网络由多个神经元连接而成,其中第一层被称为输入层(input layer);最后一层被称为输出层(output layer);其他的被称为隐藏层(Hidden layer).
记号
- a(j)i:
第j层第i个激励
- Θ(j)(波矩阵?):
第 j 层到第 j+1 层的参数控制映射
我们通常使用Θ(j)矩阵来表示参数,表示方法如上所述.其中Θ的大小为(sj+1?(sj+1),sj 为第j层激励的个数.
向量化(Vectorized)实现
我们可以将通过向量化来简化神经网络的计算.
我们可以把左下角图中Layer 2的Sigmoid函数提出,这样我们可以用Θ向量的形式表示出整个Layer 2.
也就是右边所示的过程.
写成一般形式就是:
Adda(i?1)0=1z(i)=Θ(i?1)a(i?1)a(i)=g(z(i))
我们循环执行这个步骤.直到输出层输出hΘ(x),这就是前向传播(Forward propagation).
架构(Architecture)
我们把神经元连接的方式叫做架构.
神经网络栗子
为了方便我们理解神经网络,这里有几个栗子.
假如我们有右边的数据空间,那么比较好的边界就是如图所示.
我们先简化数据为左边的图,也就是说我们需要训练一个模型求得左下的y式,很复杂.
我们先来个简单的AND运算.如上图,假设我们的theta如下
θ=?????????30+20+20????????
那么就能预测出如真值表的值.
那么同理,我们就能训练出能求或与非的模型.那么我们要求XNOR运算怎么办?
这里我们来构建一个神经网络,每个节点训练出不同的模型,达到不同的效果,最后达到输出层.
多类别分类
之前说过多类别分类问题采用(one vs all)
假设我们有4个类别需要识别,那么我们就有四个分类器.
每个分类器的含义同之前,P(y=j|θ(i)j).
代价函数
Tips:
数据空间=
{(x(1),y(1)),(x(2),y(2)),?(x(m),y(m))}
L=网络层数
Sl=第l层神经元数.
在神经网络中,神经单元的代价函数就是逻辑回归中的代价函数的一般式.
hΘ(x)∈RK(hΘ(x))i=ithoutput
J(Θ)=?1m[∑i=1m∑k=1Ky(i)klog(hΘ(x(i)))k+(1?y(i)k)log(1?(hΘ(x(i)))k)]+λ2m∑l=1L?1∑i=1sl∑j=1sl+1(Θ(l)ji)2
解释一下:
hΘ(x)∈RK就是神经网络的输出在K维向量中,二元分类K就是1
(hΘ(x))i表示第i个输出.
y(i)klog(hΘ(x(i)))k中y是一个K维向量,yk就是第K维向量,如果这组样本属于第K组,那么yk就是1,vise varsa.
需要注意的是∑sl+1j=1中依旧可以遵循”不把偏差项Θ(l)i0 (j=0)正规化”.
反向传播算法(Backpropagation Algorithm)
我们的目标是:
minΘJ(Θ)
为了找到这个Θ,我们需要计算:
- J(Θ)
- ??Θ(l)ijJ(Θ)
其中J(Θ)我们已经知道了怎么计算.
那么我们需要计算的就是J(Θ)的偏导,这时候我们用到反向传播算法:
直观上来说就是对每一个节点计算δ(l)j(第l层第j个节点的误差).
假设我们有一个网络如图:
首先我们从输出节点开始求δ(4)
δ(4)j=a(4)j?yj.
变成向量化的形式:δ(4)=a(4)?y
然后往前倒推:
δ(l)=(Θ(l))Tδ(l+1).?g′(z(l)),其中g′(z(l))=a(l).?(1?a(l)).
直到l=1,输入层不需要计算误差.
那么忽略λ,需求偏导公式可变为:
??Θ(l)ijJ(Θ)=a(l)jδ(l+1)i
实现
使用上述公式??Θ(l)ijJ(Θ)=a(l)jδ(l+1)i需要使用a和δ.
我们引入Δ,Δ(l)ij是用于计算??Θ(l)ijJ(Θ)的一个累加项.
对于每一组样例,
我们先用FP来计算a,再反向计算误差δ(l)
最后按照偏导项公式累加Δ,得到公式:
??Θ(l)ijJ(Θ)=D(l)ij=1mΔ(l)ij+λΘ(l)(ij)
若将Δ向量化得到Δ(l):=Δ(l)+δ(l+1)(a(l))T.
矩阵向量化(Matrices “Unroll” into vectors)
fminunc这些高级函数在使用的时候需要传递向量,而Θ这种却是矩阵.
我们可以把矩阵展开,来达到向量化的目的,然后在costFunction中重组Θ等矩阵.
梯度检测(Gradient Checking)
简单的说就是使用双侧差分(two sided difference)求近似导数.
在神经网络中具体实现就是如下.
一般我们取?≈10?3,然后检验上述所得向量(gradApprox)近似于DVec.
总结:
1. BP求DVec.
2. 求gradApprox.
3. 检测是否相似
4. 关闭检测(因为梯度检测很慢),使用BP学习.
随机初始化(Random Initialization)
经过之前的学习,我们发现每一层的所有单元都会经过相同的训练.所以我们使用随机初始化来打破这种对称性.
随机初始化指的是随机化初始的参数矩阵,使他们接近0却不完全相同.
总结
架构(Architecture)
- 输入单元数:特征空间维度.
- 输出单元数:类数
- 隐藏层:通常为一层,每层激励个数相同,数量选择时需要考虑输入输出层,通常稍大于输入层.
训练
- 随机初始化权重.
- FP求hΘ,也就是a.
- 计算代价函数J(Θ)
- BP求 ??Θ(l)ijJ(Θ).
- 使用梯度检测比较BP所求??Θ(l)ijJ(Θ),然后关闭梯度检测.
- 使用梯度下降等算法和BP求Θ(J(Θ)是非凸函数).
神经网络背景知识
起源
人们想要模拟大脑,因为大脑是最好的学习模型.
兴起与80s~90s,但随后衰退.但是今年由于数据量和计算速度的提高又变得兴起
思考
人类的大脑能学习很多的东西,比如分辨事物,学习,计算,说话等等.
我们也能写很多算法来模拟这些”任务”,实现该过程.但是大脑的学习应该是只有一个学习算法的(The “one single learning algorithm” hypothesis).
实验(Neural Re-wired Experiment)
科学家把动物视神经切断,而把听觉神经连接到本来由视神经连接的位置(视觉皮层),最后发现动物能完成视觉辨别任务.
左上角:在额头上佩戴灰度摄像机,数据输出到舌头的电极,刺激舌头.失明的人能在几十分钟内学会”看”.
右上角:人类声呐定位.通过打响指或者咂舌来制造声音,通过听觉来分辨回声,定位周围的物体(这是一种训练,手机上玩过一个游戏叫 Echo还是Dark Echo的就是这种感觉).
左下角:蜂鸣腰带,朝向北时腰带蜂鸣很强,使人类拥有鸟类的方向感(这个..恩..).
右下角:给青蛙按第三只眼睛,青蛙能学着使用(卧槽,那岂不是给人类大脑接一个高清摄像头就行,学习量可能有点大吧)